lÜO E. Grünfeld, 



Exponenten r^ gehört. Was jedoch die übrigen Elemente yin,-..y„ci der Lösung B) betrifft, so können die- 

 selben wohl zu höheren Exponenten ra+y^, ...ra+7,,, wo y^,..-'/,, ganze positive Zahlen bezeichnen', gehören, 

 indem nicht ausgeschlossen ist, dass, wie aus den Gleichungen 12) in Nummer 2 hervorgeht, die Coefficienten 

 C2j,...c„j für r^ra von einer höheren Ordnung als c,^, verschwinden. 



Zwischen den s Lösungen y,,,, //o,,, . ..y,,,^ (a = 1, 2,...s), welche den s Wurzeln der Gruppe 3) entsprechen, 

 kann keine Beziehung der Form : 



c,2/,i+C2i/,2+ . . . +c,yi, = / = 1,. . .n 



wo Cy,...Cs willkiirliclie Constariten sind, bestehen, wie sich aus dem Satze des Herrn Fuchs ergibt,' dass 

 eine Gleichung von der Form: 



Pj + P, log x+I\ (log.r)«+ . . . +P„ (log,»)" = 



wo Pj, P^,...P,^ in der Umgebung des Nullpunktes eindeutige Functionen von x sind, unmöglich ist, ohne 

 dass diese letzteren sämmtlich gleich Null wären. Nach einem allgemeineren Satze, welcher von Herrn 

 Thome herrührt, * kann aber auch, wenn r„ eine Wurzel von 3), r^' eine Wurzel einer anderen Gruppe und 

 y,a, beziehungsweise </,v die diesen Wurzeln entsprechenden Lösungen bezeichnen, zwischen den letzteren 

 keine lineare homogene Relation mit constanten Coefficienten stattfinden, woraus folgt, dass die den siimnit- 

 lichen Wurzeln der determinirenden Fundamentalgleichung entsprechenden Lösungen von der Form (i) ein 

 Fundamentalsystem constituiren. 



4. 



Sei wieder: 

 1) r, , rj , . . . r, 



die früher betrachtete Gruppe von Wurzeln der Gleichung K{r) = 0. Es werde untersucht, wann die zu 

 /•„ (a = 1, . . . s) gehörige Lösung 6) der Nummer 3 von Logarithmen frei ist. 



Da, wenn ;•„ eine A;fache Wurzel ist, von den derselben entsprechenden Lösungen nach der vorigen 

 Nummer mindestens Ä- — 1 Logarithmen aufweisen, so ist, damit die erwähnte Lösung keine Logarithmen ent- 

 halte, jedenfalls nothwendig, dass sich in der Gruppe 1) keine mehrfache Wurzel vorfinde.'' Die nothwendige 

 und zugleich hinreichende Bedingung dafür ist jedoch offenbar durch die folgenden Gleichungen gegeben: 



zufolge welcher also c,t für r = ;„ von der (0— l)ten Ordnung verschwinden muss. 

 Nach Gleichung 14) in Nummer 2 ist: 



^ ''* "" K(r+ 1) K{r+2) . . . K{r + k) £•<>-' "''» 



wenn gesetzt wird : 



3) A„ = K.^'+ • • • +<JmD\,+ . . . +«,Äi'-^+ . . . +< ^1^') Di 



.n 



nfi' 



1 Siehe Crelle's Journal, Bd. 68, S. 356—357. 



2 Siehe Crelle's Journal, Bd. 74, .S. 195. 



3 Vergl. Frobenius, Crelle's Journal, Bd. 76, S. 224—226 und Fuchs, Bd. 66, S. 157 und Bd. 68, S. 373—378. 



