Integration linearer Differentialgleichungen. 101 



Da, wie früher gezeigt wurde, c,(, für die einfache Wurzel r„ gerade von der (a — l)ten Ordnung ver- 

 schwindet, so findet ein Gleiches mit cx- statt, wofern nur der Quotient 



.. A* 



^ K{r + V) K{r + 2) . . . K(r + A;) ~ * 



für r:=»\, nicht unendlieh gross wird. 

 Zufolge 2) und 4) ist: 



5) c* = hk ■^• 



Wird dieser AVerth für c,* in die « ersten Gleichungen 13) der Nummer 2 gesetzt, so verwandeln sich 

 dieselben in die folgenden: 



. ic^'\^—r—lc)'i)H■ + u'y^'^^k+ ■ ■ ■+ «?*&«* + (',', ^l,^-l + "J^b2,i-l4- • . . +a|„b„,i^,+ . . . +«^1^10 + 



6) I • • • 



('", bn + <, baiH- ... +K'«— '■— ^•,)'^"* + ",'i i>i,'i-i + "'2i>2,i-i+ . • • +«',„b„,t._i+ . • . +«f;,bu.+ 



aus denen hervorgeht, dass wenn b,,i_i, b,,i— 2,...b,i, bio(«=l, 2, ..«) endlich sind, auch die Ausdrücke: 



') i 



{ S)„i. zz «;;, lik+ai^ b2i.+ . . . +(«1— »•— Ä;) b„i 



und somit auch die Producte: 



/v (/• + /,:). b,i. /=:1,...« 



endliche Werthe haben. 



Nun sind b,^ = /iTp, bjo = ^ /iTW, b„o = 7^-Srw endlich für r = r„. Zufolge 6) sind daher zunächst 



'^lo '''10 



^ii)'--®,,! "'^'1 damit auch ir(r+l)b,i (« = 1,...«) für r^r,, endlich, und es folgt aus 7), dass alsdann auch 

 b,,, bj,,-'-^,,! endlich sind, wofern K{i-+\) für rz=.r^ nicht verschwindet. Sind aber b,(,...b„, endlich, so 

 sind dann nach 6) wieder ®|2,...5D„2 und /v(r+2)b,2 endlich und weiter wären dies auch b,2,...b„s, wenn 

 K{r -\-2) für r=:>-(i nicht verschwände, u. s. w. Es sind daher allgemein bu, b2A,..-b„i für r^ra endlich, 

 wenn K{^r+k) für rz=ra nicht Null, d. h. /.; keine der Zahlen: 



ist. 



Demgemäss sind bi4,...b„4 endlich für Je = 1, 2...r/„_i — 1. Damit dasselbe auch noch für k ^= c/a-i statt- 

 finde, muss für r^=.}-a 



sein. 



Sind aber bi,;, .. .b,,i für A; = (/i,_i endlich, so sind sie es auch noch, wie sich durch Fortsetzung der obigen 

 Schlussweise ergibt, für kz=(/n^ i + l, r/„_, + 2,...(7a_2 — 2, ^a_2 — 1, wesshalb dann wieder zufolge 6) und 7) 

 auch K{r + k) b,4 lür k ^='ja-i endlich ist. 



Da aber: 



K(ra-i-k) b,, = jj^^,.^_^ 1) K^r^ + 2). . . K(:r, + k—l) 



