102 E. Grünfeld, 



und von den Zahlen (/„.Ij — 1, _r/„_2~2,..., 2, 1 eine gleich ^„-i, somit einer der Factoren im Nenner des 

 vorstehenden Bruches gleich Null ist, so kann ii(r„+Ä:)b,/, für /i; = (/„_2 nur dann endlich sein, wenn für 

 r = r„ 



9) A,,^_, = 



wird. Damit auch b,i für Ä- = (7„_2 einen endlichen Werlh habe, mnss nebst der Gleichung 9) noch die 

 folgende stattfinden : 



\^±^] = 0. 



L dr i>- = r„ 



dr 



In dieser Weise fortschliessend , gelangt man zu dem Ergebnisse, dass die nothwcndigen und 

 hinreichenden Bedingungen dafür, dass die Lösung 6) der Nummer 3 keine Logarithmen 

 enthalte, durch die Gleichungen ausgedrückt werden: 



[i.„_,] =0, [I±I^] =0. [fl^] =0 [^] =0 (.■=1,2,...,.) 



wo die A,7, durch die Gleichung S) und </„_!, (/„_2, ...</, durch 8) bestimmt sind. 



5. 



Sind die Coefficienten «,* des Gleichungssystems: 



1) X — =:au!/i+ ■ ■ ■+Cliny„ 1=1,... H 



sämmtlich constante Grössen, so lassen sich die Lösungen desselben in geschlossener Form darstellen. 

 In diesem Falle ist nämlich: 



ff,i- = «a- « = 1, . . . w; A- = 1, . . . n 



und die Gleichungen 13) in Nummer 2 verwandeln sich in die folgenden: 



2) I aliC,k + (((l.^ — r—k)cu+ - . • + <,c„t = 



^ «", cu+ <gfi2i+ . . . + (,«1„— '•— A-) c„t = 



aus denen zunächst wieder sich die Gleichung ergibt: 



3) K{r) = 0. 

 Ist aber: 



4) r^, r^,. . .r. 



die mehrfach betrachtete Gruppe von Wurzeln der letzteren, und man setzt, wie in Nummer 4: 



5) ra-\ — t\ = f/a-l, >-a-Z — ra — <Ai-2,- - • , ''i — >\\ = öl = 1,. . .S 



SO verschwindet die Determinante Kir+k) des Gleichungssystems 2) für »■:=/•(, nur dann, wenn k eine der 

 ganzen Zahlen 5) oder Null gleich ist, und die Verhältnisse der Coefficienten c,* sind alsdann durch die 

 Gleichungen bestimmt : 



c; m^Hr + U) 



