Integration linearer Differentialgleichungen. I 03 



wo die Determinanten 7!rW(»-+Ä-) aus den K^'-) in den Gleichungen 12) der Nummer 2 hervorgehen, wenn 

 daselbst r+k für r gesetzt wird. 



Die Gleichungen 5) gelten also für ä; =0, </n_i, ...j/^, </, ; für jeden anderen Werth von k aber ist: 



cik = , C2i = , ... c„i = 0. 



Nimmt man in den Gleichungen 2) cvc als diejenige Unbekannte an, welche uubestimmt bleibt, und sub- 

 stituirt in den Ausdrücken 5) der Nummer 2 fiir die von Null verschiedenen Coefficienten c«: 



Cit = eiiHi(r+k) 

 go nehmen dieselben die Gestalt an : 



i ^ 1, 2, ...n. 



In dem vorstehenden Ausdrucke fiir «/, kommen die unbestimmten Constanten c,, , c^g _,,.-.c,s,, vor; von 

 diesen ist c,^ in Nummer 2 derart gewählt worden, dass die Coefficienten ca- für An: 1, 2, 3, ...oo für keine 

 Wurzel der Gleichung 3) unendlich gross werden. Da jedoch in dem vorliegenden Falle diejenigen der Coef- 

 ficienten c,t, welche durch die Gleichung 14) in Nummer 2 bestimmt sind, wie oben gezeigt wurde, identisch 

 Null sind, so kann man von einer solchen Wahl für die Grösse c,^ hier absehen und dieselbe als eine belie- 

 bige Function von r betrachten. Gleiches gilt auch von ci,^^,, t-'i;/„_.,,---ci^j. Es sei daher: 



<^iO = -^('O y <^ha-i = -^'a-i ('■)' ■■■> ^ip, = F,^ (r) , 



wo F, F„^^_^,...Fg willkürliche Functionen bezeichnen. 



Die Gleichungen 3) in Nummer 3 lauten demnach jetzt: 



Ai {x'- u) = x'-Ki^r) -^ «■ = 1 , 2, . . . M 



und es verschwindet somit Ai{x''u') für eine /»fache Wurzel >■ der Gleichung 3) von der ^ten Ordaung. Hier- 

 aus ergibt sich mit Rücksicht auf die Gleichung 6) Folgendes: 

 Sind: 



die von einander verschiedenen Wurzeln der Gruppe 4), so gehört zu der Wurzel n-, wenn 

 dieselbe eine einfache, also k—j = 1 ist, eine Lösung der folgenden Gestalt: 



g^ y, = x'-^ {F(r)fl,.0x) + O-0 F,.{r)H,Q;)x<'j+ . . . +(c-b)F,Xr)H^{r,)x^c + (b-a)F,^ {r)H,(r,)xH + 



+ aF,^(r)H,{ra)x^a} 



wo (ja^=^ra — r,, gb^^ri—i-/,, ... ist. 



Ist jedoch k—J =: x, so entspricht der x fachen Wurzel r* die Lös u ng: 



9) y, = a;'--t{6?(''-')+(x— l)ö("-^)loga;+^ (x— l)(x-2)öf'<-3:'(log^)*+ . . . +ö(loga;)'-' } 



wo 



a = 0, 1, 2,...(x— 1) ist. 



