106 E. Blaschke, 



Es seien in n gleichweit uiul endlich von einander abstehenden reellen Werthen der unabhängig Veränder- 

 lichen x: a, n + h, a-\-2h, ...n + n — lA Beobachtungen angestellt und unter l^ Fällen im Punkte «^ (^ Verände- 

 rungen; im Punkt a + h unter l^ Fällen f^ Veränderungen, allgemein unter 4 Fällen im Punkte a + k/i 

 tt Veränderungen festgestellt worden. Bezeichnen y^ y, ....y„_i irgend welche, zwischen Null und Eins 

 gelegene Werthe, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Verhältniss aller möglichen Abänderungen der 

 Grundqualität im Punkte a + l;h während der Zeiteinheit zu der ursprünglichen Anzahl der Beobachtungen i//. 

 sei, (die Wahrscheinlichkeit für die Abänderungswahrscheinlichkeit) bekanntlich: 



= Vkdyk. 



Die Wahrscheinlichkeit, dass nach den angestellten Beobachtungen die Werthe y^^, y^ . . -yn-i als unabhängige 

 Wahrscheinlichkeiten gleichzeitig die Verhältnisse zwischen der Zahl der Abänderungen und der Zahl der 



Beobachtungen aller möglichen Fälle während der Zeiteinheit in den Werthen a, a-\-h, (i + 2li, . . .a + n — \h 

 richtig darstellen, ist demnach: 



W — v^ihj^^ . v^dy^ . . . v„-idy„_i. I) 



Unter allen möglichen Hypothesen für y wird jene die grösste Wahrscheinlichkeit besitzen, für welche W 

 ein Maximum bei Abänderung der y wird, also die Variation von W verschwindet, d. h. c?]f = ist. 



Man kann sonach als Ausgleichsfunction jede Lösung der o W^= definiren. Die Variation der obigen 

 Gleichung ergibt nach Lazarus: 



z 



^' X - y) ^y" = ^- ") 



und folgerichtig, wenn diese Gleichung wirklich denselben Umfang besitzt, als 5W^Q, wegen der voll- 

 ständigen WillkUrlichkeit des oyk ein System von n Gleichungen der Form -^ = j/i. 



h 



Lazarus gelangt demnach zu dem Schlüsse, dass es ohne jede Voraussetzung über die Natur der auszu- 

 gleichenden Function keine Ausgleichsmethode geben könne; seine weiteren Entwicklungen betreffen auch nur 

 das Problem unter gewissen Annahmen über die Natur der rcsultirenden Function. 



§.2. 



An die Darstellung des Problems der Ausgleichung von Lazarus möchte ich zwei Bemerkungen knüpfen, 

 welche die Entwicklung der Theorie zu fördern geeignet sind. Das Analogen zum Probleme der Ausgleichung 

 tindet sich in der Bestimmung der wahrscheinlichsten, bis auf eine endliche Zahl von Constanten bekannten 

 Function nach der Methode der kleinsten Quadrate. Hier wie dort strebt man die in einigen Punkten 

 beobachteten Functionswerthe zur Correctur der Beobachtung in anderen Functionswertheu auszunützen. Bei 

 der Methode der kleinsten Quadrate verwendet man hiezu die Überbestimmung des Problems, indem man bei n 

 unbekannten Constanten entweder die in jedem der n verschiedenen Werthe der unabhängig Veränderlichen 

 angestellte Beobachtung wiederholt, oder indem man die Function in mehr als « verschiedenen Werthen der 

 unabhängig Veränderlichen je ein oder melirere Male zu bestimmen sucht. Bei dem Probleme der Aus- 

 gleichung von Wahrscheinlichkeiten, welche unbekannte Functionen einer unabhängig Variabelen sind und 

 welche man daher im Allgemeinen als Potenzreihen mit unendlich vielen unbekannten Constanten (innerhalb 

 bestimmter Convergenzkreise) wird betrachten können, wurde bis jetzt angenommen, dass Beobachtungen 

 in einer sehr beschränkten Zahl von Functionswertheu vorliegen. Auch dann, wenn wir genaue und nicht nur 

 wahrscheinliche Werthe der Function durch die Beobachtung erhielten, wären wir im Allgemeinen nicht im 

 Stande, die unbekannte Function aus einer endlichen Zahl von Werthen mit Sicherheit zu construiren. Für die 

 Annahme, dass Beobachtungen in einer endlichen Zahl von Functionswertheu der Berechnung zu Grunde zu 



