Ausgleichung von Wahrscheinlichkeifen. 107 



legen seien, existirt in vielen Fällen, auch in denen, aufweiche Lazarus zunächst seine Theorie anwendete, 

 keine unbedingte Nöthigung. 



Bei der Construction der Absterbeordnung in einer geschlossenen Gesellscliaft (bekanntlich einer Mischung 

 der Mortalitätstabelle gleichzeitig Lebender und einer Generation) nach den älteren (der englischen, 

 amerikanischen oder Gothaer) Methoden werden alle Lebenden zu Beginn des Beobachtungsjahres vom Alter 

 '"dri^, wo o<j(jK:+y2 als wyährig angenommen und die daraus binnen Jahresfrist hervorgehenden Todten 

 gezählt. Weil man jene m, in welclien Beobachtungen angestellt werden, immer um ganze Jahre unterschieden 

 voraussetzt, erhält man so viele Beobachtungswerthe, als es ganze Alter unter den Beobachteten gibt. Es 

 hindert aber offenbar nichts (z. B. bei der Anlage des Zählformulares nach der Gotha-Methode), die Beob- 

 achtungswerthe einander so nahe zu rücken, als man nur immer will: wenn jedes Mitglied einer geschlossenen 

 Gesellschaft gehalten ist, sein Alter beim Beitritte nach Jahren, Monaten und Tagen genau anzugeben, so kann 

 man zwischen zwei ganzzahlige Beobachtungsalter 365 Beobachtungspunkte einschieben. Es braucht wohl 

 kaum erwiesen zu werden, dass hiebei keine überflüssige Beobaclitung augestellt wird, trotzdem bei Ein- 

 schiebung von h Punkten zwischen zwei um ein Jahr dilferirende Alter jeder Todte und jeder Lebende u-mal 

 zur Zählung kommt. 



Nach der neuern, der deutschen Zählmethode, wonach jeder Lebende an jedem Geburtstage in ein neues 

 Beobachtungsalter eintritt und die Sterbenswahrscheinlichkeiten ohne Kürzung des Zählmateriales von jedem 

 ganz/.ahligen Alter genau gegeben werden, braucht der Eintrittstag in das Beobachtungsalter nur statt von 

 jedem Geburtstage von jedem nach Jahren, Monaten und Tagen genau unterschiedenen Alter gezählt zu werden, 

 um zwischen zwei Beobacbtungsdaten der bisherigen Zählweise 365 andere Beobachtungsdaten einzuschieben. 



Übrigens kann man auch die bereits vorliegenden Resultate der älteren Zählungsmelhoden als Beob- 

 achtungen in unendlich vielen Beobachtungspnnkten aulfassen. Wenn nämlich innerhalb der Altersunter- 

 schiede h«+|üi., [>.<.^li '^y Lebende mit der Sterbenswahrscheiuliclikeit u\, \ Lebende mit der Sterbenswahr- 

 scheinlichkeit w^..., endlich A„ Lebende mit der Sterbenswahrscheinlichkeit i<?„ sich befinden, so ist die Durch- 

 schnittssterbenswahrscheinlichkeit 



'" = i +/. + (-x„ f"^'''*'' +"'«^'2+ ^-«^^ .^.] 



die in der Beobachtung gesuchte. Sie kommt der Sterbenswahrscheiniichkeit eines oder mehrerer Zwischen- 

 alter zwischen ?«rt/J<- gleich, und zwar eines Alters, wenn die gesuchte Curve innerhalb des Beobaehtuugs- 

 spatiums kein Maximum, zweier Alter, wenn sie ein Maximum oder ein Minimum im Allgemeinen von m + 1 

 Altern, wenn sie in Summe m Maxima und Minima besitzt und continuirlich ist. Welches jedoch dieses Zwischen- 

 alter sei, lässt sich von Vornherein nicht angeben, da der Werth w von der Art der Zuammensetznng des X aus 

 A^\. . .Ä„, sowie von dem Verlaufe der Curve der Sterbenswahrscheinlichkeiten zwischen u\ und w„ abhängt. Bei 

 der Unkenntniss, in welcher man sich über beide Verhältnisse befindet, wird man a priori den gefundenen Werth 

 w jedem Zwischeualter zwischen m+^/^ und w«— V,, mit gleichem Rechte beilegen können und nicht nur dem 

 Werthe m; man wird die eine Beobachtung als äquivalent unendlich vielen Beobachtungen zu betrachten haben. 



Aunierkiing, Diese Bemerkung ist geeignet, die bisherigen Methoden der rein graphischen Ausgleichung nicht unwesentlich 

 zu modlficiren. Bisher wurde in jedem ganzzahligeu Alter ein einziger Punkt verzeichnet (die Wahrscheinlichkeiten als 

 Ordinateu zu den Altem als Abscissen eines rechtwinkeligen ebenen Coordinatensysteras nach einem irgendwie getheilten 

 Massstab aufgetragen gedacht) entsprechend dem dem Alter tn zugeschriebenen lo Wert. Für diesen Punkt ist nun eine 

 ganze Linie, parallel der Abscissenaxe, in der Ausdehnung m-i-i/o — {m-y„)=l zu ziehen. Damit dürften besonders Maxima 

 und Minima, welche der zu suchenden Curve eigeuthümlich sind, deutlicher zum Vorschein kommen und weniger der Gefahr 

 ausgesetzt sein, bei der Ausgleichung mit deu Fehlern verwischt zu werden. Übrigens gelänge es auch auf diesem Wege, 

 die Gewichte der Beobachtung graphisch zur Darstellung zu bringen, wenn man die Alter auf der Abscissenaxe nicht 

 äquidistant sondern proportional der Quadratwurzel der bei ihnen beobachteten Todtenzahl — etwa in einer Zwischenfigur — 

 auftrüge und dann immer die Erfahrungen einer gleiehgrossen Anzahl von Todten zur selben Sterbenswahrscheiniichkeit 

 vereinigte. Die in der Zwischeutigur ausgeglichene Curve ist selbstverständlich wieder auf ein Netz, in welchen gleichen 

 Altersdifferenzen gleiche Abscissen entsprechen, zu übertragen. 



Das für Absterbeordnungen Gesagte gilt auch für Invaliden-, Heirats- und Morbiditätsordnungen. 



