Ausgleichung von Wahrscheinlichkeiten. 109 



Bei unendlich grosser Zalil der Hypothesen wird «, a^. ..a„ unendlich klein, und der Nenner übergeht, 

 da die Summe aller « = 1, welche Voraussetzung auch sonst über « gemacht wird, zur selben festen Grenze 



Die erste Beobachtung in einem einzelnen Functionswerthe lässt über den Werth von «., keine Voraus- 

 setzung zu; alle Hypothesen sind gleich möglich und a, bat demnach bei n Hypothesen den Werth — ■ 



n 



Wenn jedoch einer vorliegenden Beobachtung Beobachtungen desselben Functionswerthes vorausgegnngen 

 sind, oder wenn bei einer Beobachtungsreihe entweder aus theoretischen oder Erfahrungsgründen über die 

 Natur der zu suchenden Function eine Meinung besteht, welche durch die neue Untersuchung näher zu 

 bestimmen ist, dann werde ich den einzelnen y in irgend einem Beobachtungswerthe oder jeder beliebigen 

 Reihe von Fnnctionswerthen für y nicht den gleichen Werth a priori einräumen dürfen; tx.,_ ist demnach nicht 

 unabhängig von y oder dessen Ableitungen und seine Variation ody oder o log^/y nicht Null. 



Nun liegt aber gerade in der Ausgleichung die Verwerthung vorangegangener Erfahrung auf eine 

 neuerliche Beobachtung. Die Ausgleichung beruht, insoferne sie die Aufhebung der raschen Folge von Maxima 

 und Minima in der Beobachtungsreihe bezweckt, auf der folgenden Überlegung: 



1. Die beobachteten Wahrscheinlichkeiten sind den Beobachtungsfehlern unterworfen; wenn die zu suchen- 

 den Nachbarwerthe </, j/g- • -2/,. auch eine stetige Reihe bilden, so können durch die Beobachtung Disconti- 

 nuitäten entstehen, und die thatsächliche Beobachtung hat erwiesen, dass an Stelle der Maxima in einer 

 Beobachtungsreihe, Minima in der anderen vorkommen und umgekehrt; dass je grösser die Beobachtungs- 

 zahlen, resp. die aus ihnen in der Zeiteinheit hervorgehenden Veränderungen waren, desto geringer an Zahl 

 der Wechsel zwischen Maxima und Minima auftrat. (Sprague: Die graphische Methode der Ausgleichung von 

 Mortalitätstabellen aus dem Journal of Actuaries Nr. CXLH, Oct. 1886, pag. 90 und 93. — Witt stein: Ein 

 Parallele unter den vier neuesten Sterblicbkeitstafeln etc. aus dem Assecuranzjahrbuch, VII. Jahrgang, 

 V. Ehrenzweig.) 



Lazarus musste in seinem Rechnungsresultate zur Negation aller Ausgleichung gelangen, weil die 

 Bedingungsgleichung rJlog</i/ = der Voraussetzung der vollständigen Unabhängigkeit von jeder voran- 

 gehenden Erfahrung gleichkommt. Es bleibt noch die Frage zu erörtern, wie man die Bedingung der Aus- 

 gleichung analytisch darzustellen hat. 



§. 5. 



Die analytische Darstellung von a. wird von der Menge der gesammelten Erfahrung und der Form, in 

 welcher dieselbe zum Ausdrucke kommt, abhängen. 



Vor jeder Erfahrung ist, wie schon oben bemerkt, o log </// = anzunehmen; die Hauptgleichuug der 

 Variation wird y ^ w, d. h. man hat Punkt für Punkt den ausgeglichenen Werth dem unausgeglichenen gleich- 

 zusetzen. Der jähe Wechsel von Zu- und Abnahme kann einer Curve von Wahrscheinlichkeiten auch eigen- 

 thümlich sein. Wenn z. B. die Sterbenswahrscheiniiclikeit im Kriege von 0-05 sich mit der Kriegswahrschein- 

 lichkeit von Yg zur Sterbeiiswahrscheinlichkeit durch Krieg, zu 000833 verbindet, so wird in der Curve der 

 allgemeinen Sterbeuswahrscheinlichkeiten während der kriegspflichtigeu Alter eine sprungliafte Zunahme des 

 Sterblichkeitssatzes um eben diese Grösse stattfinden müssen. In den Curveu für Sterbenswahrsclieinlichkeiten 

 geschlossener wirthschaftlicher Vereinigungen können solche Sprünge durch die Selection in Verbindung mit 

 dem Zudrange der Aufnahmswerber während gewisser Alter entstehen. Neben diesen durch die menschlichen 

 Gesetze und Einrichtungen bedingten Stetigkeitsunterbrechungen können andere wieder durch organische 

 Processe, wie durch die Geburt, Pubertät etc. ihre Erklärung finden. 



Die durch wiederholte Beobachtung derselben Erscheinung gesammelte Erfahrung wird häufig, besonders 

 solange das gewonnene Material zu tiefer gehenden Schlüssen keine Handhabe bietet, benutzt, um 

 charakteristische Merkmale ihres Functionalgesetzes abzuleiten. 



