110 E.Blaschke, 



Solche Versuche sind ganz vornehmlich bei der Absterbe- und Invalidenordnung unternominen worden und 

 es sollen die wichtigsten unter ihnen hier ihre analytische Behandlung finden. 



Wenn von dem zu suchenden Functionalgesetz nur bekannt ist, dass es (mit Ausnahme von wenigen 



Unstetigkeitssfellen) überall coutinuirlich sei, dann wird dy für '-^ = (/ — oo im Allgemeinen Null, für jeden 



anderen Fall von Null verschieden sein: es ist daher dy das Prodiict einer Function von y' (nicht aber von x 

 und y) und von d.v. Die Bedingung für die Ausgleichung lautet dann 



/ 



a-\-n — 17* 



l 



{r,—y)fjy + fUos/\y'} 



"l-.V(l-.'/) 

 Daraus entspringt die Hauptgleichung der Variation 



d.v = III') 



w(l — y) d 91og/(w') 



^' = '"--^dr.~^'—- IV) 



Der unausgeglichene Werth ist dem ausgeglichenen gleich, wenn y = 0, y—l oder ; = oo wird. 

 Dasselbe findet ganz allgemein statt, wenn alle Continuität als gleich wahrscheinlich angenommen wird, d. li. 



wenn /"(/) für jedes \oi\i/ — oo verschiedene «' denselben Werth annimmt. Dann ist — ^V , = und nur 



für die Stetigkeitssprünge von w wird y unbestimmt. Solange fiy') keine andere Einschränkung erfährt, als für 

 i/' = oo Null zu sein, bleibt die Ausgleichsfunction unbestimmt. 



Nimmt man jedoch nach bekannten Schlüssen an, dass jedes unendlich grosse y' sich aus unendlich vielen 



unendlich kleinen (jedoch gleich grossen) Elementargrösseu + — »zusammensetze, deren jedes positiv oder 



negativ genommen gleich möglich sei, so wird: 



dy = €->•'-"' dx = f{jyf)dx 



Nach Gleichung V) wird y ausser im Punkte y z= 0, i/ = 1 und für jedes l z=zoo auch dann w, wenn 

 drei aufeinanderfolgende Punkte der beobachteten y Werthe auf einer Geraden liegen. 



Wenn man nach Sprague von der ausgeglichenen Curve fordert, dass im Allgemeinen keine Wende- 

 punkte (als Übergang vom Minimum zum Maximum in einer stetigen Curve) vorkommen, d. h. dass dy = 

 werde, so oft y":=zO oder oo vorausgesetzt ist, dann ist im Allgemeinen dy eine Function von y", aber nicht von 

 ^,y, y', z. B. dy z=f(y")dx. 



Die Hauptgleichung lautet: 



^ / dx^ df ' 



und wieder ist ersichtlich, dass, solange die Function f(y") keine weitere Einschränkung erfährt, als den Werth 

 Null für j/" = oder oo anzunehmen, die Ausgleichsfunction unbestimmt bleibt; ferner, dass im Allgemeinen 

 y = iü wird, wenn jeder Werth für y" ausser 6 oder oo gleich wahrscheinlich ist. 



Im Allgemeinen wird man sagen können, dass die Ausgleichung die Einflussnahme der vorangegangenen 

 Erfahrung auf den absoluten Werth der zu suchenden Wahrscheinlichkeit, sowie auf die relative Lage irgend 

 eines Functionswerthes unter seinen Nachbarwerthen sei. Nachdem der absolute Werth der Wahrscheinlichkeit 

 durch y, die relative Lage unter n Nachbarwerthen durch die n ersten Differenzialquotienten bestimmt ist, so 

 wird sich dy zunächst als irgend eine Function von y, y' y" . . .y" darstellen lassen. Die Hauptgleichung der 

 Variation wird unter dieser Annahme, wenn man zur Abkürzung für log f{x, y, y', y" . . .y") z=z z setzt: 



