y — w + 



Ausgleichung von Wahrscheinlichkeiten. 111 



Yy ^ (Ix ^/ ■*" rfö^ 3»/" "•••+" " (hv^'hj^ 



VII) 



Diese Gleichung ist als allgemeine Ausgleiclisbedingung anzusehen. Man erkennt daraus, dass unbekümmert 

 um die sonstigen näheren Bestimmungen für z y =: «i' wird, wenn y ^ 0, y = 1 oder l ^ oo wird; d. h. bei 

 unendlich grosser Beobachtungszahl gibt es keine Ausgleichung. 



Die Ausgleichsfunction wird erst bestimmt, wenn über die Natur der Abhängigkeit eines Punktes von seineu 

 Nachbar werthen bestimmte Annahmen bestehen. 



§.6. 



Die nähere Bestimmung der Ausgleichsaufgabe als einer Maximumaufgabe der Variationsrechnung kann in 

 mehrfacher Art erfolgen. 



Bei der Construction der Absterbe- und Invalidenordnung wird zumeist gefordert, dass die aus der wirk- 

 lichen Zahl Beobachteter nach den beobachteten and ausgeglichenen Wahrscheinlichkeiten hervorgehende Zahl 

 von Todten, respective Invaliden, innerhalb gewisser endlicher grösserer Strecken gleich sei. (Kamp, Die 

 Mortalitätsverhältnisse des ärztlichen Standes und andere Veröffentlichungen desselben Schriftstellers, z. B. in 

 Masius' Kundschau der Versicherungen. Band 1884. — Sprague, Journal of the Institute of Actuaries OXLII, 

 pag. 84; Lazarus, Zur deutschen Lebensversicherungs-Sterblichkeitstafel. Assecuranzjahrbuch v. Ehrenzweig. 

 VI. Jahrgang.) 



Der analytische Ausdruck für diese Bedingung lautet: 



/*a-^7i — lA /^a-\-7i — Ih 



/ whi.v = / lyclx- = constant. 



Wie sich leicht ergibt, bildet diese Bedingung keine Einschränkung für die Wahl der Function z. In der 

 That übergeht mit Hilfe der Bediugungsgleichung die Maximumaufgabe in: 



y = »"-/^i/a-y) + ^^V^ 



dz d 8j rf* "dz , d" dz ] -,-^-, 



dy da; dy> ^ d.v^ dy" ^ ' " ' ^ ^ rf^» iy \ 



wobei ;ji constant und so zu bestimmen ist, dass das aus VIII) berechnete y, in j lyd^i- — j wldx eingesetzt, 



.Ja Ja 



dieser Gleichung genügt. 



Übrigens wird nach meiner Ansicht diesem Kriterium als „einer Probe für die Übereinstimmung von 

 Theorie und Wirklichkeit" ein zu grosser Werth beigemessen. Die Erklärung Witts tein's (§. 23 der Math. 

 Statistik), dass vorausgesetzt wird, die Sterbefälle, welche in ein gewisses Alter hätten fallen sollen, seien 

 durch das Spiel des Zufalles theilweise bis zwei Jahre zu früh oder zu spät gefallen, hat nur Berechtigung bei 

 der Ausgleichung von Mortalitätstabellen einer Generation, in welchen die Beobachtungen der einzelnen 

 Beobachtungsjahre stets aus denselben Personen nach Abschlag der vorgekommenen Todesfälle bestehen. Bei 

 der Construction einer Mortalitätstabelle gleichzeitig Lebender mit Hilfe einer aus der Gesammtheit willkürlich 

 herausgegriffenen Anzahl l., von «jährigen, 4+i von « + 1jährigen . . ./„^.^ von a + Äjährigen Personen ist der 

 Beobachtungsfehler ganz anderer Natur und in den aufeinanderfolgenden Punkten vollständig unabhängig. 



Es steht nur zu erwarten, dass Beobachtungsfehler der Nachbarpunkte bei Zusammenziehung der Wahr- 

 scheinlichkeiten zu einer einzigen Beobachtung sich wechselweise verkleinern, weil im Allgemeinen nach der 

 Natur aller Beobachtungsfehler grössere Fehler seltener eintreffen als kleinere. Es existiren aber heute noch 

 keine reinen Mortalitätstabellen einer Generation. 



In Fällen, in welchen die Erfahrung ziemlich weit vorgeschritten ist, construirt man Wahrscheinlichkeits- 

 gesetze. Am bekanntesten sind die zahlreichen Versuche zur Auffindung von Absterbefunctionen, als deren 

 treffendster Ausdruck die Gompertz-Makeham'sche Formel y — 1— «Kts-^) und die Wittstein'sche 



