112 E. Blaschke, 



y =: fl-t^-^)", worin a, b, q, n M und n Constante bedeuten, betrachtet wird. Derartige Formeln geben das 

 Gesetz der Walirscheinlichkeiten bis auf eine gewisse Zahl von Coustanten wieder; so nimmt man an, dass 

 jede beliebige, zu irgend einer Zeit und iu irgend einem Lande herrschende Absterbeordnung von Personen 

 desselben Geschlechtes und derselben socialen Lage, z. B. durch eine Gompertz-Makeham'sche Formel, 

 deren Constanten von Fall zu Fall zu bestimmen sind, sich ausdrücken lasse. Nun kann je nach der Bedeutung, 

 welche man einem solchen Gesetze zuerkennt, das obige Problem der Ausgleichung eine engere oder weitere 

 Bestimmung erfahren; es ist möglich, die aufgestellten Gesetze als gewisse (bis auf eine bestimmte Zahl von 

 Constanten) gegebene oder nur als wahrscheinlichste Gesetze aufzufassen. 



Zur Behandlung des ersteren Falles wurde das Wahrscheinlichkeitsgesetz durch die bis auf die 

 unbekannten Constanten r/, a^. . .a^, vollständig definirte Function y ^=. fix, «, «^ • ■ •«^0 gegeben angesehen. 

 Die Variation oy, welche das bestimmte Integral III) zu einem Maximum machen soll, ist beschränkt durch die 

 Beziehungsgleichung : 



oy — -^ Sa^ + ^§a^+ . . . + J- q^» 

 ort, ' da^ '■ Oüj, 



aus welcher für die Variationen der Ableitungen folgt: 





jf^J 



allgemein IX) 



Oü* = -^ Ort, -f -^ Ort, + . . . + ^- Ort,,. 



^ 9«, ' Srt^ ' örtp 



Die Substitution dieser Beziehungen in Gleichung III) ergibt: 



a-\-n — lA 



l(w — (/) / 8« - 8w ^ 8w 



0(1, 



f\ j(i-yy V 8^ ^"' ^ H '^"^ "^ ■ • ■ ^ ^ ""^ 



8^ \c(l^ drtj ' ort,, 



8= / sy „... . ^.y' .^„ , , ^y' „^, 



oy \ 8«, ' 8rtg ' drt,, ' 



"p 



8j (Zy- , _ ^y» . ^ ^ 8.V" „. 



■i n\ •> °«1 + ^ ■ Ort + ... + Ort,, 



8i/" \ Srt, ' 8rtjj ' ort,, 



d.v — 0. 



Wenn die Variationen unter den Constanten vollständig willkürlich und wechselweise unabhängig sind, 

 leitet sich für -— — ~ z= w das folgende System von p Gleichung ab: 



y(}—y) 



•bz\ 8« 8« 8«' 8a 8t/" Zz 8m" 



(0 ^ ^ A — I — I- . . . H ^— ^ 0. 



^ 8?/ / 8«, Sy 8rt, "öy" 8rt, 9t/" 8«, 



, + ^)iiL + iL^ + i^M+ ... +i^.^ = o. X) 



? 



8.J/ / 8«g 8y' 8a^ 9t/ ' 8«, ' ' 8t/" 9«^ 



8:t ^| 8i/ ^ 8» 8t/' ^ 9i 9.y" ^ 9^ 8.y'' _ 



8t/ ./ 8rt,, 8»/ 8rt,, 8t/" 8rt,, ■ ■ ■ 8(/" 9«,, 



Aus dem System X erhellt, dass das Problem der Ausgleichung bei gegebener Wahrscheinlichkeitsfunction 



nur dann vollständig gelöst ist, wenn die Zahl der willkürlichen Constanten gleich oder grösser ist, als die 



Zahl der Nachbarpunkte, welche das Gewicht einer Hypothese über die relative Lage einer Wahrscheinlichkeit 



9« 

 beeinflussen sollen. Im Falle ?t = » ergibt sich für -f—- 



9/ 



