Ausgleichung von Wahrscheinlichkeiten. 



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3g 



- y + 





X') 



Bezeichnet /\i/, ;/ y" . . .;/") = in diesem Falle die Beziehung, welche zwischen y, y' y" . . .y" nach 

 Elimination von 7i Constanten besteht — die DifFerentialgleicbung wtec Ordnung — so leitet sich aus dein 

 Systeme der daraus folgenden Gleichungen: 



8_(/ 8«/, 8//' 8w/, i)y" dn,, 



+ ^ • ^ = für y.= \,2,3...7i 



dy" da,, ' ' 



für den negativ genommenen Werth des Quotienten der beiden Determinanten in A'' 



8/' 8/- , ... 8^ 

 ■—— ■ -fr^, also tur -— -;- =: + 

 oyic ' oy dy" 



2z 



iL . IL 



8»/ J 8?/* ■ 8// 



ab. 



Die Voraussetzung, dass die Ausgleichung bloss die Correctur jedes Wahrscheinlichkeitswerthes nach der 

 relativen Lage eines beobachteten Werthes unter den übrigen zum Gegenstände habe, dass also— -^:= sei, 

 gibt für die Ausgleichung nach Gleichung VII) die folgende Bestimmungsgleichung: 



f = 



d 

 7/^ 



JL ^ 

 2y' ■ 8.//J 





f 



_8/^ 8/^ 

 8.v" ■ 8// 



+ . . . H 1" 



d" 



dx" 



8/- 8/" 



X) 



Eine Ausnahme erleidet diese Regel, wenn zwischen oy, oy' . . .oy" eine Beziehung besteht und daher die 

 Functionaldeterminante des Systems IX), welche mit dem Nenner des Systems X') identisch ist, verschwindet. 

 In diesem Falle muss entweder y = 0, d. i. y = w sein, oder es muss auch die Determinante des Zählers 

 verschwinden; im ersteren Falle ist der unausgeglichene Werth dem ausgeglichenen gleich, im letzteren erhält 

 man eine Bedingung für die Wahl der Constanten. 



Ist p > II, also p z= n + k, dann müssen k Gleichungen des Systemes durch die übrigen identisch befriedigt 

 werden; man erhält daher ebenso viele Bestimraungsgleiclningcn für die Constanten des Systems, welche als 

 ebensoviele Bedingungsgleichungen der Ausgleichung anzusehen sind. 



Z.B. Es sei eine Parabel »ter Ordnung als Wahrscheinlichkeitsfunetion gegeben: y = (l^+(l^.v+ll.^.v^+ ... 

 + a„+i.r"; die Lage jedes Wahrscheinlichkeitswerthes werde durch m = n + l Nachbarwertlie corrigirt. Nacli- 



8.'/' _ 8t/" _ _ 8.V" 



dem -^= 



Oft, 0(1 



d. i. (/ := w oder 



8rt, 



8«, 



0. 



=: und der Nenner von X) daher identisch verschwindet, ist entweder 'j/^O, 



Im letzeren Falle folgt zur Bestimmung von y: 



d fx d^ f.T^ 





d" f.v" _ „ 

 d.-v" n ! 



Wenn bei beliebiger Wahl der Function f die Ausgleiclisfunction uur eine Beziehung zwischen .(/ und 

 — darstellt, dann besteht für A, A, A^. . .A„ als willkürliche Constante die Beziehung: 



d.V ' 12 3 



8y _, 8,/ _^ 8.^_ _^Jy_. 



" 2fi„ 



8«, ' 8«^ 



^^8«3 - 



Deukschrinen Jür mathem.-naturw. Cl. LIV. Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 



