Ausgleichung von Wahrscheinlichl-citen. 115 



VerscliietlL'u von diesem, auf bestimmte Lösiingeu führenden Problem wird die Aufgabe der Ausgleichung, 

 wenn eine vorliegende Function f{x, y) ^0 nur die wahrscheinlichste unter unendlich vielen möglichen Aus- 

 gleiclisfunctioncu ist. In diesem Falle wird verlangt, dass dy für alle </, welche der Gleichung der gegebeneu 

 Curve genügen, ein Maximum sei, dass also Ody für derartige y-Werthe verschwindet, ferner dass dy Null 

 wird für alle y, welche grösser als 1 sind; die erste Bedingung besagt, dass wir jeder Beobachtung, 

 welche mit einem Curvenpunkt zusammenfällt, ein grösstes Gewicht beilegen; die zweite, dass jeder Werth 

 y>l unmöglich sei. Man kann diesen Bedingungen auf unendlich viele Arten entsprechen. Bezeichnet 



OD 



'sin« cosyiula 



-f- 



den Dirichlett'scben Discontiuuitiitsfactor, ^{.v,y)^zO irgend eine Function, in 



welcher innerhalb der Beobachtungsreihe der jedem x entsprechende Werth von y>l oder complex ist, end- 

 lich x(^.i') irgend eine reine Function von x, dann wird man 



dy = /•(,(•, y)dx — J[/-;^(.i-, y).-]>KV, y)dy + x(-»-")l 



setzen können. Da ody ^ Jf(^.v, y)-x{^) 2/)'^//) S^^^ ^^^ Gleichung III): 



V =zio— ^^^~^^ y(.<.-, yj.'^Qf, //) 



y l S?{^;y)-^(^v,y)dy + yXx) ^ ' 



Es sei z. B. angenommen, dass der aus '^(^, rj) inO explicite gerechnete n Werth durch r; -=. F(£,) dargestellt 



werde, dass ferner jede Abweichung der zu suchenden Ausgleichsfunctiou von dem entsprechenden Curven- 



werthe r,: y — r, aus unendlich vielen unendlich kleinen Elcmcntarabvveichungen dy bestehe, welche au sich 



gleichmöglich sind. 



Dann ist: 



f\.r, y)dx — tf- *'[»-'fl-)l' fte 



und 



l 



2/,2 yO- y) |y_7/^.,.jj. XIII.) 



Einer analogen Behandlung unterliegt offenbar der Fall, in welchem die wahrscheinlichste Curve als 

 Differenzialgleichung ?iter Ordnung 



v (•«'•> y> y', y" ■ • ■ y") = o 



gegeben ist. Sind ■^^ = 0, '^^ = 0, ipg = . .^n =: willkürliche Functionen von x, y, die in jedem x des 

 Ausgleichsbereiches nur für Werthe vony Null werden, welche >1 oder complex sind, dann wird die Function 

 f{x, y)dx die folgende Form annehmen können: 



fix, y) = J^f . 4-, dy . Ju . -^^dy' . J'^ . -^ly' .... ^'f^ ■ Jy' + xQ^)- 



Denn es ist: 



ody — JJ-^-l,^dy.j'fP.^dy' Jf^^ndy" 



'W'^y , 'W'^y' , , "Px'^y" 



+ 



Sr\''y Srhdy "" Sr^^dyn 



§.7. 



Die sämmllichcn Ausgleichsglcichuugen haben die Form: 



F 



wobei F irgend eine Function von x, y, y', y" . ■ ■ .y" bedeutet. Unter der Annahme, dass die an der Grösse w 

 anzubringende Correction immer sehr klein ist gegenüber dem iü -Werthe selbst, dass also, wenn ;/ = w -+- A, 

 höhere Potenzen der Quotienten des Incrementes h in die Grösse y oder w vernachlässigt werden dürfen, kann 

 man mit dieser Gleichung die folgende Transformation vornehmen: 



y = 10 ^— ; t ^— r r- = w '-— — - F. XIVi 



i y{^~y) 2/(1-2/) i ' 



P* 



