Ausglekhimf) von WahrscheinCichkeiten. 1 1 7 



Cüiistanten desselben Nnll gesetzt werden. Man findet nämlicli mit Hilfe der particulären Lösungen der reducivten 

 Ditferenzialgleichuug •' =^ //, inul y^, zwiscbcn welchen die Beziehung y^ y — y^ -^ = /r besteht, 



.'/= f '1//1 + ^'«2/2 + z: 





Wenn unter dem Integrale für ~ ^= ^-^ und für -- =: -7^,- gesetzt und von der Identität finlv = vn — frrf« 

 Gebrauch gemacht wird, findet man zunächst: 



y = <^i2/i + ^\yi + "■ + T 





und wenn mau auf die Werthe unter dem Integrale fortgesetzt dieselben Beziehungen anwendet, endlich 



_, _ <Pw d^ d^w 



y = C,!l^^C,ij, + w+p j-^^ + p—^ p -—+... 



§.8. 



In allen vorausgcliendeu Formeln für die Lösung des Ausgleichsproblems ist 10 als bekannte Function von 



X gedacht; ausser w kommen in ihnen noch die höhereu Differenziakiuotienten -^ r-f" —, — vor. Es scheint 



° ' dx dx* dx„ 



daher uothwendig, iv^ in unendlich vielen Punkten als beobachtet vorauszusetzen; hat man lo nur in einer 



endlichen Zahl von äquidistanten Punkten beobachtet, z. B. in den Werthen x ^= a, n + h, a + 2li. . .a + n — 1/t 



dann wird mau die Function, wie ihre Difterenzialqnotienten aus den beobachteten Werthen (<•„, n\, u\. . .ic,i^i 



und deren Ditferenzreihen ermitteln müssen. 



Der Vollständigkeit halber seien unter den möglichen Beziehungen zwischen Function, Ditfercntialquo- 



tienten und DiÖerenzreihen der beobachteten Werthe die folgenden angeführt. Für jene Werthe der Function, 



welche in der Nähe der den kleinsten Werthen der unabhängig Variabelen entsprechenden beobachteten 



Werthen, also im Beginne der Beobachtungsreihe liegen, wird mau von der Formel 



w^ z= (l + lif^y = «•„ + .r,A(r„ + .i-^A '?<'„+ ... XV 



in welcher a-, x^. . . Binomialcoefficienten, Ah'^, A^?t'^... die ersten, zweiten etc. Differenzen bedeuten, 

 Gebrauch machen. 



Die Ditferenzialquotienten in diesen Punkten bestimmen sich nach der Formel 



^= flogd + A.,!]^ - 4a'.o-^ A^... + -^^^ A-.. . . XVI) 



k 4+1 4+2 i+n 



hier sind C„, C,, C^. . .C„ die unter dem Namen der Facultätencoefficienten bekannten Constanten der Oten^ 

 ersten, zweiten . . . «t^'n Ordnung aus der Zahlenreihe 



1, 2.../1-— 1; 1.2.../r, 1 .2. . .Ä-+1 . . . etc. 



Zur Bestimmung von Werthen der Function, welche in der Nähe der beobachteten Werthe zu Ende der 

 Beobachtungsreihe liegen, ist die folgende Beziehung geeignet: 



Wn^a: — W„+ X ^^.W „^i + (X + l\^^'^ W,. ^^.^ (X + 2\^^W„^Z . . . XVII) 



