JOUliNAL OF THE COLLEGE OF SCIENCE, IMPERIAL UNIVERSITY, 

 TOKYO, JAPAN- 

 VOL. XIX., ARTICLE 5. 



Ueber die im Bereiche der rationalen complexen 

 Zahlen Abel'schen Zahlkörper. 



Von 

 T. Takagi, 



a. o. Professor der Mathematik an der Universität zu Tokyo. 



Kronecker hat zuerst den Satz ausgesprochen, dass alle im 

 natürlichen Rationalitätsbereich Abel'schen Zahlkörper durch die 

 Kreiskörper, d.h., die aus den Kreisteilungsgleichungen entspringenden 

 Zahlkörper erschöpft sind. Der erste vollständige Beweis dieses 

 schönen Satzes rührt von H. Weber her, welchem sich in neuester 

 Zeit ein einfacherer und direkterer Beweis von Hilberth zugesellte. 

 Es war auch Kronecker, der der Vermutung Ausdruck gab, dass alle 

 in Bezug auf einem imaginären quadratischen Zahlkörper relativ- 

 Abel'schen Zahlkörper durch diejenigen Körper erschöpft seien, welche 

 aus den Transformationsgleichungen der elliptischen Functionen mit 

 singulären Moduln entstehen. So wahrscheinlich auch diese Ver- 

 mutung durch die Untersuchungen von FI. Weber, Hubert, u. A. 

 geworden ist, harrt die Fra^e doch noch der entscheidenden Erledi- 

 gung. Indessen es gibt specielle Fälle dieser grossen Aufgabe, 

 wo man von vorn herein eines ojücklichen Abschlusses sicher sein 



1) H. Weber, Acta Mathetnatica, Bd. 8 ; Lehrbuch der Algebra, Bd. II. 



2) Eilbert, Göttinger Nachrichten, 1896 ; Jahresbericht der Deutscheu Mathematiker- 

 Vereiniguns' IV. 



