4 ABT. 5— T. TAKAGI 



oder m — 4 jenachdem p- durch 2 teilbar ist oder nicht. Eine 

 Ausnahme hievon bildet der Fall, wo 

 III. p=l + i: 



n i -\ (1 + Sil u \ 

 Sil (1 + l) u = -^ — I 



en il. ein u I 



f (l + i)u = -±—— 1 



2i $> u ) 



§• 2. 



Teilung der Periode durch eine ungerade Primzahl in k(i). — Es 

 bedeute jx eine ungerade Primzahl des Körpers k(i), in die Norm 

 derselben. Die Gleichung m—V** Grades in x 



h&)=0 (4) 



ist nach einem wohlbekannten Satze Eisensteins in k(f) irreducibel. 

 Die Wurzeln derselben sind die Grössen 



Q 



x } =sn y x a=o, i, »»-2 (5) 



l l 



wenn mit y eine Primitivzahl nach fx bezeichnet wird. Die Glei- 

 chung (4) ist cyclisch in dem Rationalitätsbereich k{\) ; sie definirt 

 einen relativ-cyclischen Körper C M vom Relativgrade m— 1 in Bezug 

 auf k(i). 



Um die Discriminante D der Gleichung (4)- zu finden, bedienen 

 wir uns der Identität : 



(sn u— sn v) (su u + su v){sii{u j rv) — sn(u — v)\ 



= 2 sn u. cn u. du u. sn (u + v) sn (u—v) (6) 



worin wir sn w, sn v der Reihe nach durch alle möglichen Combina- 

 tionen x ?1 x v aus den Grössen (5) ersetzen, mit Ausnahme derjenigen 

 für die A=A' oder A=A' mod. — ^— wird ; dann nehmen sn (u+v\ 



