]0 ART. 5.— T. TAKAGI: 



_ a + ß x 



wenn «, ß ganze Zahlen des Körpers /.'(ar) bedeuten, die der 

 Bedinorino; 



a 2 - t ?-x 2 =0 mod. 4 (8) 



Genüge leisten. Nun ist die Zahl 



ç = 1 + * cn u 



gewiss eine ganze Zahl des Körpers k(x 2 ) und 



ç 2 — x' : =2i en u=0 mod. §Y 5 



nicht aber für eine höhere Potenz irgend eines à als Modul. Es ist 

 nun zu beweisen, dass eine Congruenz der Form 



£*— a; 2 ^0 {mod. f) 



überhaupt für eine Zahl £ des Körpers /»(V) unmöglich ist. In der 

 Tat: wäre Ç 2 — a; 3 (mod f) so müsste erstens Ç 2 =£ 2 (mod j r '), d.h. 

 C 2 — ^ 2 = (C — £) (C+£) teilbar durch 5 s . Dies hätte aber zur Folge, 

 dass C 2 ='"' (mod. 5 R ) und daher müsste £ 2 — ar 2 =(C 2 — £ 3 ) — (C 2 — ? 2 ) auch 

 durch 5" teilbar sein, was aber nicht der Fall sein kann. 



Wir können nun zeigen, dass die Congruenz (8) dann und nur 

 dann möglich ist, wenn ß durch 1 + i teilbar ist. Wäre nämlich ß 

 nicht durch j 2 teilbar, so könnte man, da jedenfalls « und ß durch 

 dieselbe Potenz von 5 teilbar sein müssen, eine Zahl Ç aus der 

 Congruenz 



a=ßC (mod. f) 



bestimmen ; es muss dann ß* (C 2 - — x 2 ) durch 3 s teilbar sein, und da ß 

 nicht durch g 2 teilbar sein sollte, so müsste. C" — # 2 wenigstens durch 

 3 fi teilbar sein, was aber nicht möglich ist. Es muss daher ß durch 

 5- und ähnlicherweise durch j' 2 ,....also «lurch 1 + / teilbar sein. 



