I BBEB DIE BELÀTIV-ABEL'SCHEN ZAHLKÖRPEB | ;, 



mod. <j s ; sie sind daher in if — 1 mod. q s incongruenten Zahlclassen 

 von der Form a=l+Çq (ß=£o mod. <j) enthalten. Von diesen sind 

 our q-] verschiedene Classen unter den Potenzen von ;- enthalten, 



nämlich y Uq ~ 1J (^=1, -....</-l.) Wählt man daher y' beliebig ans 

 den übrigbleibenden Ciassem so wird y' in der Tat dir gesuchte Zahl 

 sein. Denn ist «>0 der kleinste Exponent, für den y' a r M (mod. </'"') 

 wird, so mnss erstens a in </' ' aufgehen, sodann muss />- teilbar sein 

 durch a (if — -1) und endlich wenn man fji=ba (<f — 1) setzt, muss die 

 Zahl y'y-Ki - 1 ) mod. <f zum Exponenten a gehören. AVüre also 

 a-<<f l so musste x'y~ Kq ~° ==1 wenigstens mod. g 2 , was aber durch 

 die Wahl von y' ausgeschlossen ist. 



Hiernach lassen sich die Wurzeln der Gleichung ( ( J) für /'. = <[ in 

 der Form darstellen 



x, u.=sn 



_c»i — '--/M "^ 



;.=0, 1, 2, q h -\q--\)-l \ 



'■"" rr "~tf \ft=0, 1,2, q h - l ~\ 1 



Bezeichnen wir nun die Substitutionen (oc m x l0 ) (ar 00 , x 01 ) resp. mit 

 s, ? so ist die Gruppe der Gleichung (9) eine Abel'sche und zwar mit 

 den Elementen 



' l U=0, 1,2, g"- 1 -] J 



Der Teilungskörper ist also in diesem Falle relativ Abel'sch in Bezug 

 auf k(i). Dieser enthält als Teiler q h ~* + 1 von einander verschiedene 

 relativcyclische Körper vom Relativgrad q'" 1 in Bezug auf 1c(i). 

 Die Relativdiscriminante jedes dieser Körper ist eine Potenz von q. 

 Der in dem ganzen Teilungskörper enthaltene relativcyclische Unter- 

 körper vom Relativgrade </ J — 1 ist nichts anders als derjenige, welcher 

 aus der '/-Teilung entspringt. 



