UEBEB DIE EELATIV-ABEL'SCHE» ZAHLKÖRPER. 19 



rf»+i=— 4 (//„'-'- 1) = -Si //„ //„_! 



dass, die Discriminante der Gleichung (11) und folglich auch die 

 Relativdiscriminante des durch sie definirten Körpers in Bezug auf 



/,(/) nur den Primfactor 1 + i enthalten, da die Zahlen // sämtlich 

 Einheiten sind. 



Ferner leuchtet ein, dass der Körper /,(//„ ,) durch Adjunction der 

 Zahl «Jy n aus dem Körper h(y n ) hervorgeht. Um uns zu überzeugen, 

 dass die Gleichung (11) wirklich einen Körper vom Relativgrade 2 2 " 1 

 definirt, genügt es zu zeigen, dass jedesmal der Körper /«(//„ + ,) 

 wirklich von /,(//„) verschieden ist, oder was dasselbe ist, dass die 

 Zahl //„ keine Quadratzahl in le(y n ) ist. Da y 1 —l±^/2, so ist /.-(?/,) 

 wirklich von /,(/') verschieden. Wir nehmen also an, dass k(y„) vom 

 Relativgrade 2" ist, und wollen beweisen, dass dann der Körper 

 KVn + i) wirklich vom Relativgrade 2" + 1 sein muss. Wäre nämlich 

 y n =(a+ß y n y worin «, ß zwei Zahlen des Körpers />;(?/„_,) bedeuten, 

 so fol^t hieraus, weisen der vorausgesetzten Irreducibilität der Glei- 

 chung für y n in A'(//„.,), dass 



~ ., 2 «,9-1 



i'= — er — 



— 2* Vn-\ 



d.h. 



^^^{tAt}" 



(l-i)ß 



Die Norm der Zahl //„_,±1 in Bezug auf k(y n _ 2 ) ist aber ± 2i ;/„_ 2 ; 

 es sollte also y n _ 2 eine Quadratzahl in k(;/„ ,) sein, was nach der 

 Voraussetzung nicht möglich ist. 



Die Gleichung (11) ist daher in h(i) irreducibel, sie definirt einen 

 relativ Abel'schen Körper vom Relativgrade 2~ m in Bezug auf k(i). 



Da es keinen Körper über fe(i) mit der Relativdiscriminante 

 1 gibt, und da die Relativdiscriminante des Körpers /,;(//„) eine 



