IKHKK Dil-: KKI-ATIY-AHEL'SCHEN ZAHLKÔRPEK 23 



BezeichneD wir nun mit s die Substitution (#, x') des Körpers 



A. so ist 



x | s J =x n t je | s*=& n {mod. ^) 



Ist daher /' der Grad von s, 



/ 



Jede ganze Zahl y des Körpers A lässt sich nun in der Form 

 darstellen 



c. T'=a +a x a;+a 2 a; 2 + + #v-i-'" 1/ ~ i 



wenn <z , a v . .a M _ t ganze Zahlen des Körpers Jc(i) und c eine gewisse 

 Potenz von (1 + /) bedeuten. Hieraus folgt für jede ganze Zahl des 

 Körpers A 



y nf =r (mod.p) 



Ist daher 9Î ein Prim ideal des Körpers A', welches in y aufgeht, und 

 ?/' die absolute Norm derselben, so muss f </. Da aber 



a:' ,r =ic (wocZ. 9Î) 



nicht fur/'<y bestehn kann, so ist f=f 



Die Zahl /, als die Gradzahl der Substitution s, muss in die 

 Gradzahl M des Körpers aufgehen; ist M—ef, so zerfallt die Zahl 

 v in e von einander verschiedene Primideale in A'. Diese Primideale 

 sind vom/*™ Grade in Bezug auf k(J). 



Die Zahl /ist aber nichts anders als der Exponent, zu welchem 

 die Zahl v gehört mod. n. 



Es bleibt noch für ungerades p die Zerlegung der Zahl \ + i zu 

 untersuchen. Wir bezeichnen den einzigen Unterkörper von A' vom 

 Index -4 mit A", den Relativgrad desselben . mit .1/'. Eine Basis von 

 A" bilden die Potenzen der Zahl (§. 2) 



