26 ART. 5.— T. TAKAGI: 



und sn w durchläuft alle Wurzeln der Gleichung, von der die 

 eigentliche /-Teilung abhängt, wenn man in diesem Ausdruck resp. 

 sn w, m v alle Wurzeln der Gleichungen der //-, v- Teilung durch- 

 laufen lässt. 



Es lassen sich nun jedenfalls cn u. dn u durch sn u, cn v. dn r 

 durch sn v in /;•(/') rational ausdrücken, sodass wenn 



gesetzt wird 



,~ = s)i w, x = sn u, y = sn v 



z=f(x,ij) 



und es ist/ eine rationale Function in fc(i), deren Coefficienten von 

 H und v, nicht aber von der Wahl der Wurzeln .r, y abhängen 



Der Körper der ^-Teilung ist daher gewiss im demjenigen Körper 

 enthalten, welcher durch die Zusammensetzung der Körper der fi- 

 und v- Teilung entsteht. 



Jeder Teilungskörper ist daher in einem aus einer Anzahl gewis- 

 ser elementaren Körper des §. G. zusammengesetzten Körper enthal- 

 ten, ist also relativ Abel'sch in Bezug auf />;(/) ; desgleichen auch 

 für jeden Unterkörper eines Teilungskörpers. 



Nach Analogie des Hilbert'schen Kreiskörpers nenne ich einen 

 Lemniscatenkörper einen jeden Teilungskörper und seinen Unterkörper 

 wie sie im vorigen in Betracht gezogen wurden, sowie einen jeden 

 aus solchen zusammengesetzten Körper. 



§. 9. 



Wir kommen nun an den Zielpunkt dieser Abhandlung; es 

 handelt sich darum, nachzuweisen, dass 



jeder im Bereich, der rationalen complexen Zahlen AbeVsche Körper 

 ein LemnisJcatenhörper ist. 



