ÜEBER DIE RELATIV-ABEL'SCHEN ZAHLKÖEKER. 27 



Da sich jeder Abel'sche Körper aus den cyclischen Körpern, deren 

 Grad eine Primzahlpotenz ist, zusammensetzen lässt, genügt es zu 

 beweisen, dass jeder relativcyclische Körper über /■■(/), dessen Grad 

 eine Primzahlpotenz ist, in einem ans den elementaren Lemniskaten- 

 körpern des §. (i. zusammengesetzten Körper als Teiler enthalten ist. 

 Wir schicken die folgenden Hülfssätze voran: 



1) Jeder im natürlichen Rationalitätsbereich Galois'sche Kör- 

 per, welcher die Zahl i enthalt, und in Bezug auf /."(/) relativ 

 cyclisch ist, ist ein Kreiskörper. 



Beweis. Es sei K ein solcher Körper, R derjenige Unterkörper 



von h\ welcher ans allen in A enthaltenen reellen Zahlen besteht. Da 

 K als ein im natürlichen Rationalitätsbereich Galois'scher Körper zu 

 jeder seiner Zahlen die conjugirt complexe enthält, und da A ausser- 

 dem die Zahl i enthält, so muss A aus II und /,(/) zusammengesetzt 

 sein. 



Der Körper A kann daher durch eine Zahl 6=p + yi erzeugt wer- 

 den, wenn p eine den Körper li erzeugende Zahl und y eine passend 

 gewühlte rationale Zahl bedeutet. Es sei G die Gruppe des Körpers 

 K ; dann hat G einen Teiler C vom Index 2, zu welchem die Zahl i 

 gehört. Diese Untergruppe C muss aber cyclisch sein, da A relativ- 

 cyclisch ist in Bezug auf /.(/). Durch die Substitutionen dieser 

 Untergruppe gehe 6 in 0', ()",... und p in />',/>"... über. Ist sodann 

 tY = F(Ö) worin jP eine rationale Function in /,(/) bedeutet, so ist 



p' + yi=F(p + yi) 

 woraus dann folgt 



P=mF(p + yi)=f(p) 

 worin 9Ï für "reeller Teil von" steht. Da d"=F(d') so muss auch 



p"=<p(p) 



