28 ART. 5.— T. TAKAGI: 



sein; also ist R cyclisch im natürlichen Rationalitätsbereich, und 



folglich ist A' ein Kreiskörper. 



2) Durch Zusammensetzung zweier AbeFscher Körper entsteht 

 wiederum ein Abel'scher Körper. Ist A ein Abel'scher Körper vom 

 Grade m=p h i p 1 '-...-, welcher aus den cyclischen Körpern C 1} C 2V .. 

 vom Grade p h i , p h z ,.. .zusammengesetzt ist, B ein cyclischer Körper 

 vom Grade x=p' : , wobei k keinen der Exponenten //■„ h 21 . . .übertrifft, 

 habe ferner A, B einen gemeinsamen Teiler vom Grade g, so kann 

 der aus A und B zusammengesetzte Körper K auch aus A und einem 

 zu A teilerfremden cvclischen Körper vom Grade mn : g zusammen- 

 gesetzt werden. Als Rationalitätsbereich wird hier jeder beliebige 

 algebraische Körper vorausgesetzt. 



Beweis. Es bedeute «, ß, x=xa + yß resp. die den Körper A\ B, 

 K erzeugende Zahl. Da sowold « als auch ß rational durch », aus- 

 drückbar sind, so ist, wenn x'=xa' + yß' eine zu * conjugirte Zahl 

 bedeutet, a durch «, ß' durch ß folglich beide und daher auch h 

 rational durch ;<• ausdrückbar. K ist daher gewiss ein Galois'scher 

 Körper. Daher gibt es in der Gruppe G von K nur eine Substitution, 

 die unter den conjugirten von a, und unter denjenigen von ß eine 

 bestimmte Permutation hervorruft. Die Gesamtheit derjenigen Sub- 

 stitutionen von G, die die Zahl « umgeändert lassen, bildet einen Nor- 

 malteiler S von G vom Grade n:g. Die complémentaire Gruppe G/S 

 ist aber mit der Gruppe des Körpers A isomorph, also Abel'sch. Dies 

 besagt aber, dass, wenn <?, ff' zwei Substitutionen der Gruppe G sind, 

 ffff' und ff'ff dieselbe Permutation unter den conjugirten von a 

 hervorrufen. Da dasselbe auch in Bezug auf ß gelten muss, so 

 rufen an' und a'a dieselbe Permutation unter den conjugirten von 

 ß hervor. Es muss daher aa' = (î 'a\ der 'Körper K ist in der Tat 

 Abel'sch. 



Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, bemerken wir 



