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zunächst, dass «lie Gruppe S cyclisch sein nmss. weil der Körper 

 /.' nach der Vorraussetzung cyclisch isl. Ks sei nun a, eine < U-n 

 Körper C, erzeugende Zahl, a n «,' — ihre conjugirten, ferner Beien 

 a s , a 8 ' ; a 3 , a 8 ',.--j u.s.w. die entsprechenden Zahlen für C 2 , C a — 



Unter den Substitutionen der Gruppe G, welche nicht in S enthalten 

 sind, gibt es dann eine, die wir s, nennen wollen, welche "-, zu 

 tt t ' überfuhrt, a 3 , a 3 ,...aber ungeänderl lässt; in folge der über den 

 Grad von 7> gemachten Annahme ist dann diese Substitution s, 

 vom Grade p h i . Sind nun s 2 , s 3 ,. ..ähnliche den Körpern C 2 > C 3 ,... 

 entsprechende Substitutionen, so sind s 2 , s 3 ,...resp. vom Grade 



p*2 j p*3 Diese Substitutionen s n s 2 ,... erzeugen, eine mit der 



Gruppe von J isomorphe Untergruppe T von 6r, vom Grade m ; 

 und es ist G = S.T. Zu dieser Untergruppe T gehört ein Unter- 

 körper D von A" vom Grade n:<j, und welcher zu ^t tcilerfremd 

 ist. Es ist daher K=A.D. Die Gruppe von I) ist aber isomorph 

 mit der complementären Gruppe G/T, daher auch mit 6', woraus 

 dann folgt, dass D cyclisch sein muss. 



§ 10. 



Wir können jetzt den folgenden Satz beweisen: 



Es sei fi eine Primzahl des Körpers //(/), m deren Norm, ;/' die 

 höchste Potenz einer natürlichen Primzahl p die in m-1 aufgeht. 

 Jeder relativcyclische Körper r vom Relativgrade p h ' (/('</') dessen 

 Relativdiscriminante keinen Primfactor ausser 11 enthält, stimmt 

 dann mit dem entsprechenden elementaren Lemniskatenkörper C 

 überein, deren Existenz in §. 6. nachgewiesen wurde. 



Beweis. Wäre /'verschieden von C, so sei K der aus f und C 

 zusammengesetzte Körper, dessen Relativgrad p n gewiss zwischen 

 p h ' und p 2 *' liegt: A enthält keinen relativcyclischen Körper von 



