Il i:i:i; DIE RELATIV-ABEL'SCHEN ZAHLKORPER. .;; 



Die Zahl w erzeugt aber offenbar den Körper fc(C, r). Die Relativ- 

 discri minante dieser Zahl in Bezug auf Z ist 1 . also prim zu 



p. Daher muss die Relativdiscriminante von fc((7, jO in Bezug auf / 

 auch prim zu p sein. Bedeutet nun 93 ein Primideal des Körpers 

 ^), welches in p aufgeht, so gehl 93 nur zu der j>-\' " roten/, in 

 rc auf. Der Trägheitskörper von ~ isl dann vom Relativgrade /> in 

 Bezug auf />•(/), und seine Relativdiscriminante muss 1 sein, was 

 aber unmöglich ist. Es ist daher 



u* = l + ar / {mod. p 2 ), «zto (mod.p) 



Genau dieselbe Erwägungen fuhren uns zu dem Resultat: 



mit i>~\-{-b r t (mod. \f) 



wo 6^0 (mod.j)) 



Bestimmt man nun die natürliche 2 - anze Zahl c aus der Conerruenz 

 a+bc=0 (mod. />) 

 so folgt 



6 = ?!•*. |O c =l (7no(Z. p'-'j 

 und es ist 



f) s = 0>-\ y» 



Wäre also ('={=(" so würde 6 gewiss nicht eine pte Potenz in X sein. 

 Da aber fc(Ç, ^/tf") gewiss in K=k(C, 0', Q enthalten ist. würde die 

 Conruenz 0=1 (p' J ) genau wie vorher zu einem unzulässsigen Resultat 

 führen. Demnach muss, wie bewiesen werden sollte, 



C=C. 



Jeder relativcyclische Körper vom Helativjrad /'". dessen Relativ 



