40 ART. 5.-T. TAKAGI: 



Da es nur einen Kreiskörper gibt, welcher relativcyclish über 

 Ä(/) vom Relativgrade <j ist, und dessen Relativdiscriminante nur 

 den Primfactor q enthält, nämlich denjenigen, welcher in dem durch 

 i und eine primitive q 2 te Einheitswurzel erzeugten Körper enthalten 

 ist, so sind wir sicher, dass es einen Körper C von der angegebenen 

 Beschaffenheit gibt, der kein Kreiskörper ist, und infolgedessen von 

 dem in Bezug auf den natürlichen Rationalitätsbereich zu C conjugir- 

 ten Körper C verschieden ist (§. 8), so-dass CC' = Q i . Der Körper 

 Qj entladt aber den oben erwähnten Kreiskörper als Teiler; bedeutet 

 daher £ eine primitive q u Einheitswurzel, so wird fc(Q„ Q — h(C, VC) 

 sein. Gebe es nun einen Körper C von der angegebenen Beschaffen- 

 heit, der jedoch nicht in Q, enthalten ist, so entsteht durch Composi- 

 tion ein relativ Abel'scher Körper fc(Q„ C, Ç)=k(C, C, Vç~) vom Re- 

 lativgrad '/'('y-1)- 



Bezeichnen wir nun mit Z den durch i und £ erzeugten Körper, 

 so ist die Zahl ij die ('/-l) tP Potenz eines Primideals q in Z, welches 

 vom zweiten Grade in Bezug auf den natürlichen Rationalitätsbereich, 

 aber vom ersten in Bezug auf /.'(/) ist; es ist ferner c\ das durch die 

 Zahl f t =\ — £ erzeugte Hauptideal. 



Wir denken uns nun die Zahlen *, # wie im vorigen Paragraphen 

 aufgestellt, sodass 



fc(C> C)=*(C> y~ t) . H j ,-^-ia, ; *_! (q) ^i (q v } 



Ä(C. CÖ=*(C W : ö ; «=rö»r^i ; 0^1 (q)^l ( t f) 



Da q ein Primideal ersten Grades in Bezug auf /.•(/) ist, so können 

 wir zwei nicht durch q teilbare ganze Zahlen des Körpers /.(/) finden, 

 sodass 



)'=\+(a +h ij/ t (niocl. if) 

 d=l+(a' + b'i)rj (uiod.-iy) 



