SÉANCE DU 7 JUILLET 1902. II 



montré que les variations relatives de H étaient en moyenne de ^, trop 

 forts, il semble, pour que l'idée soit avantageuse en pratique. L'hypothèse 

 d'une ellipse mobile a servi de point de départ dans presque tous les tra- 

 vaux récents et se trouve justifiée par l'expérience. 



» J'ajouterai, parce qu'elle se relie naturellement à ce qui précède, 

 une remarque sur le cas particulier où /, périodique et de période 27c par 



rapport à a, ne contient pas -j-» cas qui comprend la plupart des exemples 



traités dans le Chapitre I du Mémoire déjà cité. L'application de la méthode 

 ordinaire d'approximations successives a conduit, on l'a constaté, à des 

 systèmes canoniques, par suite à des intégrales. Or il y a là un fait général 

 qui résulte des premiers principes de la Théorie des invariants intégraux 

 de M. Poincaré. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement des /onctions analytiques 

 en série de polynômes. Note de M. Paul Painlevê. 



« 1. Soit y(s) une branche de fonction analytique, holomorphe à 

 l'origine, et définie dans le voisinage par une série de Mac-Laurin 



(■) /(=)=/(o) + f/'(o) + f;^/"(o)+...+i^/""(o)+.... 



» Représentons par a Vétoile d' holomorphie attachée au développe- 

 ment (i), c'est-à-dire l'ensemble des points z du plan qu'on peut atteindre 

 sur une demi-droite issue de l'origine, sans rencontrer de singularités de 

 la fonction f{z) (prolongée analytiquement le long de la demi-droite) : 

 les points du plan qui sont exclus de l'étoile sont distribués sur des demi- 

 droites L issues de points singuliers de/(z) et menées en sens inverse de 

 l'origine. 



» D'après un beau théorème de M. Mittag-Leffler, on peut former une 

 série de polynômes lPn(^z'), où 



(2) p„(.)=i^;-v'=^<"+(£:-;^/|-''(o)c>...+^<'+/(o)cr. 



qui converge vers f{z) dans toute l'étoile a. 



» Appelons, avec M. Borel, série M une telle série. Les coefficients Cy" 

 sont numériques [indépendants de /(o), /'(o), ...]; ils peuvent être 

 choisis d'une infinité de manières. Sur les semi-droites exceptionnelles L, 



