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la série diverge en général (mais peut parfois être convergente ). Par 

 exemple, si/(^) est uniforme et méromorphe dans tout le plan, la repré- 

 sentation de M. Mittag-Leffler est en défaut, non seulement aux pôles 

 mais sur toutes les demi-droites L (issues des pôles). 



» M. H. von Koch a montré récemment que, moyennant un choix conve- 

 nable des coefficients c]"\ la série 2P„(^) converge encore et repré- 

 sente /^(^) sur toutes les demi-droites L qui ne renferment que des pôles. En 

 particulier, si f(z) est méromorphe dans le plan, la série converge quel que 

 soit z, sauf aux pôles. 



» Pour comprendre combien ce résultat est remarquable, il suffit de 

 songer que la série 2 P„ (s) ne peut converger uniformément sur un contour 

 fermé sans converger uniformément dans toute l'aire intérieure. Appliquée 

 à une fonction méromorphe, le développement de M. von Koch converge 

 uniformément dans toute aire fermée qui n'a pas de points communs avec 

 les demi-droites D, ainsi que sur tout segment (dénué de pôles) d'une de 

 ces droites : mais sur une circonférence décrite d'un des pôles comme 

 centre, la série com^erge sans converger uniformément. 



» M. von Koch déduit son théorème de certaines propriétés de l'expo- 

 nentielle. Par une voie toute différente, j'étais parvenu au même résultat 

 en même temps qu'à d'autres propositions qui entraînent, au sujet des 

 développements de Mittag-Leffler, des conséquences que je crois neuves 

 et intéressantes. Ces propositions, que je me bornerai ici à énoncer synthé- 

 tiquement sous leur forme la plus brève, découlent presque immédiate- 

 ment d'une généralisation que j'ai donnée du théorème de Mittag-Leffler 

 {Comptes rendus, mai, juin 1899). 



» 2. Introduisons avec M. Fredholm le polynôme 



(3) Q„(x) = x(x-+-i)(x + 2)...(^-H^-i)^r+E;f^,^«-' ■+-...+ e;"':^; 



remplaçons-y les V par y! /'{7.(a[7. -h sy-\ puis les \iJ^ par ^ -^ , S et soit 

 Rre(s» ^y s) le polynôme en z ainsi obtenu; posons enfin 



(4) K,(^) =/(o) -t- ^R,(^, /•, s) + ^R,(z, r, s) +...+ - R„(s, r, 5), 

 avec 



(5) h = i-' r=^(i--L:\ 



log/i\/log/i 



