SÉANCE DU 7 JUILLET I902. l3 



» Le polynôme Kn(z), quand n croît indéfiniment, tend vers/(^) à 

 l'intérieur de l'étoile a. Si l'on veut encore, posons n„^R„— R„_,, 

 n„ = Kp =/(o) ; les n^ sont des polynômes de lajorme {i) et la série 



(S) no(.-) + n, {z) .+-...+ n„(^) + . . . 



converge uniformément vers/(z.) dans toute aire intérieure à l'étoile a. Mais, 

 de plus, elle converge sur toute droite L qui ne renferme que des pôles. 



» Précisons les propriétés de cette série S. Soit s, = po(cos9o +?sinô(,) 

 un point d'une demi-droite L, et admettons qu'entre les deux demi-droites 

 60 et 60 -h A (A > o) il n'y ait pas, à l'intérieur du cercle | 2 | < p^, de sin- 

 gularités (le f(z); la fonction /(s) est alors holomorphe dans le secteur 

 de cercle ainsi défini D; si, au point ^0 f^" contour de D, elle est encore 

 holomorphe et prend la valeur /,, nous dirons que la valeur de /(z) à 

 gauche de L est holomorphe pour - = ^0 et égale à /, ; quand tous les 

 points ^0 d'un segment de L satisfont aux conditions précédentes, nous 

 dirons que ce segment est régulier pour f{z) à gauche de L. 



» Puisque z^ est sur une demi-droite exceptionnelle L, la fonction f{z), 

 holomorphe dans le secteur D, présente au moins un point singulier, sur 

 la droite G», entre o et Zq. Représentons par S la distance d'un points à 

 cette droite, et supposons que dans D on ait : 



1 

 |/(^)|<e^^' (^ entier positif) ('). 



» Dans ces conditions, la série S converge pour z =Z(^ et représente /«; 

 elle converge uniformément sur tout segment de L (entre o et ^0) régulier 

 pour f(z) à gauche de L. En particulier, si la demi-droite L ne renferme 

 que des points singuliers algébriques de/(z), la série S converge tout le long 

 de L {sauf peut-être aux points singuliers) et représente la valeur de f{z) à 

 gauche de L. 



(') Il est loisible de remplacer l'inégalité précédente par une inégalité 



où cp'est une fonction donnée qui croît avec -r aussi vite que l'on veut. Il faut alors, 



dans les égalités (5), remplacer 0ôgn par une fonction de n qui croît plus lentement 

 avec n. 



