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)) 3. Si, dans les égalités (5), on change le signe de i, tons les résultats 

 précédents subsistent, à cela près qu'il faut introduire la valeur de f{z) à 

 droite de L au lieu de la valeur à gauche. 



» D'après cela, représentons par S, la série déduite de S en changeant i 

 en — i dans les égalités (5), et par 2S2, liS.^ les séries obtenues en ajou- 

 tant et en retranchant terme à terme les séries S et 84. Pour plus de clarté, 

 plaçons-nous dans le cas 011 la fonction/(s) définie par (ï) est algébrique, 

 et (^0 désignant un point d'une demi-droite L) appelons /g(zo) el/^Çz^,) 

 les valeurs de /(z), pour z = z^^, à gauche et à droite de L. Les séries S, 

 S^, S2 sont des séries (M); elles convergent dans tout le plan [sauf aux 

 infinis de/i^s)]; elles convergent uniformément dans toute aire intérieure à 

 l'étoile a, ainsi que sur tout segment de demi-droite L dénué de points singu- 

 liers; elles représentent y"(^) dans l'étoile oc; sur les demi-droites L, les 

 trois séries S, Sj, 83 convergent respectivement vers 



M^h M^)' ^-^- 



Quant à la série 83, ses termes ont encore la même forme que ceux d'une 

 série (M); elle converge de la même manière que les précédentes, mais 



elle est égale à zéro dans toute l'étoile y,y et à ^-^ — r^ sur les demi-droites L. 



j_ 

 » 4. Appliquons ces généralités à la fonction (i — s)^ La série 82 con- 



verge dans tout le plan : elle représente (1 — 3)"^ quel que soit 5, sauf sur la 

 demi-droite réelle (\ , +ao), ou elle est nulle. La série 83 converge au con- 

 traire vers zéro dans tout le plan, sauf sur la même demi-droite où elle est 



égale à sjx — i. 8oit de même f {z) = (i — 3)' ; les séries 8, S, , 85 con- 



vergent vers (i — zy dans tout le plan; sur la même demi-droite 

 (1, H- go), elles ont respectivement pour valeur 



quant à 83, elle converge vers zéro, sauf sur la même demi-droite, où elle 



tend vers — ^(x — i)'\ 



i 

 » 8oit encore /(.s)— ^ , ' J i — ^V, /?, ^désignant des entiers 



ité , 



positifs quelconques et a^^^ la quantité ( cos -^ -f- isin ^ V Les branches de 



