SÉANCE DU 7 JUILLET 1902. l5 



/"(s) sont tontes holomorphes dans la circonférence T de ra\on r et de 

 centre O, et à l'extérieur de cette circonférence (qui est une coupure essen- 

 tielle de toutes ces branches). La série S^ converge dans tout le plan, repré- 

 sente/(z) dans r, et coïncide à l'extérieur de T avec une infinité de fonc- 

 tions analytiques distinctes; sur chaque demi-droite issue de l'origine et 

 extérieure à r, 83 représente une fonction holomorphe (le long de la 

 demi-droite), mais cette fonction change quand la demi-droite pivote 

 autour de l'origine, et les diverses fonctions ainsi représentées ne sont pas 

 les branches d'une même fonction analytique. En particulier, 83 coïncide 

 sur certaines demi-droites avec une branche de chacune des fonctions 

 obtenues en supprimant, dans f(z), un quelconque des termes 



ip' + g'r 



» 5. La plupart des auteurs qui ont écrit sur les séries (M) ont admis 

 implicitement que, si elles convergent (en dehors de l'étoile) en des 

 points z où f(z) existe encore, elles représentent y(^) (ou une de ses 

 branches). M. Borel a même eu l'idée ingénieuse et hardie de se servir des 

 séries (M) pour étendre les fonctions analytiques au delà de leurs hgnes sin- 

 gulières, et il a formé des exemples où cette extension apparaît comme 

 naturelle. Il est clair qu'une telle idée n'est admissible qu'à condition de 

 ne jamais entrer en contradiction avec le prolongement analytique clas- 

 sique : or nous venons de former des séries (M) qui convergent sur tout 



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 l'axe réel et représentent ( i — x^ pour x <^i et zéro pour ^\> i . Cela ne 



signifie point que l'idée de Mr Borel doive être abandonnée, mais que, 

 pour la poursuivre, il sera nécessaire d'imposer qqx séries (M) certaines 

 restrictions. 



» 6. Les résultats énoncés dans cette Note s'étendent immédiatement 

 anjc fonctions de plusieurs variables, soit de trois variables z,u,v : d'après 

 le principe général que j'ai énoncé {Comptes rendus, loç, cit.), il suffit de 

 remplacer z, u, v par zt, ut, vt, de développer en série (M) la fonction 

 de t ainsi obtenue et de faire t = 1. Ep particulier, une fonction méro- 

 morphe de s, u, ç est représentable par une gérie de polynômes [de l'es- 

 pèce (M)], soiL5P«(2, u, ç^), pour toute valeur de z, u, (^(saqf aux pôles). » 



