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facilités particulières dans l'élude des fonctions (M) uniformes dans une ré- 

 gion du plan : c'est sans doute par elles qu'il y aura lieu de commencer. 

 Les résultats obtenus par M. Helge von Koch et par M. Painlevé pour les 

 fonctions méromorphes permettraient d'ailleurs, sans doute, dans cer- 

 tains cas, de former un développement donnant la valeur de ces fonctions 

 e/i tous les points où la fonction a une valeur finie. Il suffirait, pour cela, de 

 considérer la fonction 



î(-^)=i:ss 



A 



^ À^ À^ pa-\-qb-\-rc 



' ' a -h b -]- c 



et de prendre les numérateurs A^^^,. assez petits; on pénétrerait ainsi à 

 l'intérieur du triangle lacunaire abc : il y aurait lieu d'y étudier la conver- 

 gence. Mais la non-uniformité de la convergence entraîne de graves diffi- 

 cultés, et il sera sans doute préférable, malgré l'importance et la beauté 

 des résultats obtenus, de se borner d'abord aux séries telles que la conver- 

 gence dans une aire quelconque entraîne la convergence uniforme dans toute 

 aire intérieure. » 



Observations sur la Communication précédente, par M. P. Painlevé. 



« Les restrictions imposées par M. Borel aux séries (M) qui peuvent 

 représenter une fonction (M) rendent, en effet, peu vraisemblable qu'il 

 puisse se présenter une contradiction entre ses définitions et la théorie des 

 fonctions analytiques. Je crois intéressant, toutefois, de signaler l'exemple 

 suivant : j'ai pu former des séries (M) qui convergent pour toutes les va- 

 leurs réelles de la variable x, ainsi que toutes les séries dérivées terme à 

 terme et qui répondent aux conditions suivantes : 



M 1° La somme F(a:) de la série est continue, ainsi que toutes ses dé- 

 rivées, quel que soit x (et ces dérivées s'obtiennent en dérivant la série 

 terme à terme). 



)) 1° Si l'on forme la même série (M) en prenant .Xp comme origine, à 

 l'aide des valeurs F(x\,), r'(j?y), etc., la série ainsi obtenue jouit des 

 mêmes propriétés et représente encore Y(x). Il n'y a d'exception que pour 

 .Tq = i; en ce point, toutes les dérivées de F {x) sont nulles et la série (M) 

 correspondante se réduit à une constante. 



» 3° Pour a;^i, 'P{x) coïncide avec une fonction analytique (holo- 



