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logarithmiques une (p + i )'^'"^ courbe quelconque Y de la surface, el la totalité 

 ou une partie des courbes C. 



» J'ajouLe que le nombre p est le même pour toutes les surfaces se cor- 

 respondant birationnellement et n'ayant pas de courbes exceptionnelles ; 

 sous ce point de vue, il peut être regardé comme un invariant pour la classe 

 de surfaces algébriques considérées. 



» 2. Soit maintenant une surface/", pour laquelle toutes les intégrales de 

 différentielles totales sont de la forme (i); désignons toujours par les 

 lettres C les p courbes du théorème précédent, et soit r une courbe irré- 

 ductible quelconque Iracée sur la surface. Il existe, comme nous venons 

 de le dire, une intégrale de différentielle totale ayant pour courbes loga- 

 rithmiques la courbe r et la totalité ou une partie des courbes C. Cette 

 intégrale est, par hypothèse, de la forme (i); on peut supposer que les 

 termes logarithmiques sont réduits à leur moindre nombre, c'esL-à-dire 

 qu'entre les A on n'a pas de relation homogène et linéaire à coefficients 

 entiers. Dans ces conditions, on est assuré que les fonctions rationnelles R 

 n'ont d'autres lignes de zéros et d'autres lignes d'infinis que la courbe r et 

 les courbes C. 



» Ainsi, une des fonctions R, au moins, est nulle ou infinie le long de F, 

 et elle a comme autres lignes de zéros et d'infinis la totalité ou une partie 

 des courbes C, avec des degrés quelconques d'ailleurs (entiers) de multi- 

 plicité. Il existe donc certainement une fonction rationnelle n'ayant 

 d'autres lignes de zéros et d'infinis que la courbe irréductible arbitraire V 

 de la surflice, et la totalité ou une partie des courbes C. J'ajoute que cette 

 fonction sera unique, ou, plus exactement, que deux fonctions ration- 

 nelles possédant cette propriété ont deux de leurs puissances entières 

 convenables dans un rapport constant. 



)) 3. Ceci posé, prenons sur notre surface p -t- i courbes irréductibles 

 entièrement arbitraires 



1 1 , 1 2» • • • ■> Ap_^_, . 



)) On peut, d'après ce qui précède, former une fonction rationnelle R,, 

 ayant pour ligne de zéro la courbe T, et pour lignes de zéros et d'infinis la 

 totalité ou une partie des courbes C. Soient de même R^, ...» Rp+i des 

 fonctions rationnelles analogues correspondant à Fo, ...,Fp^,; formons 

 le produit 



J. IV, 11.2 • • • i«pH-l > 



oii les ]x sont des entiers positifs ou négatifs. On peut choisir ces entiers 



