SÉANCE DU 28 JUILLET rgoa. 219 



(non tous nuls) de manière que, pour la fonction rationnelle F, les 

 courbes C ne soient plus ni lignes d'infinis ni lignes de zéros. La fonction F, 

 ainsi obtenue, ne se réduira pas à une constante, et elle aura pour lignes 

 de zéros et lignes d'infinis la totalité ou une partie des courbes r. 



» Nous sommes donc ainsi conduit à la conclusion suivante, qui est 

 assez curieuse : Étant prises sur la surface p -h i courbes algébriques irré- 

 ductibles arbitraires, il existe une fonction rationnelle s' annulant le long de 

 certaines de ces courbes, devenant infinie le long des autres (^avec des degrés 

 convenables de multiplicité), et ri ayant aucune autre ligne de zéros ou 

 d'infinis. 



» Il est bien entendu qu'il s'agit ici d'une surface dont, par hypothèse, 

 toutes les intégrales de différentielles totales sont du type (i). 



» Pour les courbes algébriques, il n'existe évidemment pas de proposi- 

 tion analogue, dans laquelle les courbes F seraient remplacées par des 

 points; pour une courbe algébrique non unicursale, on ne peut évidem- 

 ment pas former une fonction rationnelle des coordonnées, dont les pôles 

 et les racines devraient être nécessairement compris parmi des points 

 donnés, les degrés de multiplicilé n'étant d'ailleurs pas fixés à l'avance. 



» 4. Les résultats précédents conduiraient donc plutôt à présumer que 

 les intégrales de différentielles totales ne se ramènent pas, en général, à 

 des combinaisons algébrico-logarithmiques; mais, à supposer que cela soit 

 possible, nous ne pouvons indiquer une surface de connexion linéaire égale 

 à l'unité (c'est-à-dire sans intégrale différentielle totale de seconde espèce 

 de nature transcendante) possédant une intégrale de troisième espèce qui 

 ne soit pas du type algébrico-logarithmique. 



» On peut indiquer, au contraire, de nombreux exemples de surfaces 

 algébriques pour lesquelles oh est assuré que toutes les intégrales sont du 

 type précédent. Un exemple très simple est fourni par la surface de 

 Rummer; pour cette surface, le nombre p est égal à Funité, et, si l'on prend 

 sur la surface deux courbes algébriques irréductibles quelconques F, et Fg, 

 il existe une intégrale de troisième espèce n'ayant d'autres courbes loga- 

 rithmiques que ces deux courbes, et réductible à un logarithme. On peut 

 le voir de suite en se reportant à une proposition très élégante de M. Hum- 

 bert, d'après laquelle toutes les courbes algébriques tracées sur la surface 

 de Kummer sont de degrés pairs, et si 2m désigne le degré d'une telle 

 courbe, on peut le long de cette courbe circonscrire à la surface une sur- 

 face de degré m ne la coupant pas en dehors de la courbe considérée. 



