3l8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



à partir d'un certain indice n, co désignant la plus petite racine positive de 

 l'équation 



07= e 



Me • 



On en conclut en particulier le théorème suivant : 



» Pour toute fonction entière satisfaisant à V hypothèse {a), l'inégalité 



\^n\> - ^)[Ç n{\ogny^J 



est vérifiée pour une infinité d'indices n. 



» C'est là encore un résultat bien précis. En voici un autre plus parti- 

 culier, mais comportant cependant des applications intéressantes : 



» Sifi^x^est une fonction entière de genre o qui vérifie l'hypothèse (^a^ 

 et dont les zéros sont tous situés sur un même rayon issu de f origine, on aura, 

 à partir d'un certain indice n, 



[^a— 1 ^1— p ~\ p 



T désignant la racine positive de l'équation ^ 



t'-P 



» La quantité — — va en croissant de - à i , lorsque p croît de o à i . 



» 2. Supposons maintenant que, l'hypothèse (a) étant toujours véri- 

 fiée, on ait en même temps, quelque petit que soit e, 



{b) M(r)>e'^-^"-'"°^"-'" 



pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes. 



» Si p n'est pas entier, il existera alors un nombre positif" a tel qu'on 

 ait, quelque petit que soit e, 



(4) 



an\<{i -^ ^)\\n{\o^ny\^ 



pour une infinité d'indices n. 



» Nous avons démontré que la plus petite valeur \ telle que l'inégalité (4) 

 ait lieu pour toute fonction entière vérifiant les hypothèses (^a) et {b), est 



■x = f 



pour o «<^ p <! I ♦ 



