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permettent, en effet, de modifier les équations (i) et (2), sans qu'elles 

 cessent d'être représentées par des formules semblables à (3) et, par suite, 

 d'être associées à un système linéaire (4); il suffit que l'ensemble 



se réduise, en tenant compte de (5), à (6.rJ-+- [j.x^)dx\ pour /i = 2, 

 //= r, à (i2£r„.r.) + \J')dx\ pour h — - 3, /^'= i, ce qui assujettit les coeffi- 

 cients p\'^l à remplir deux conditions. 



)> Le système (4) est d'une simplicité particulière, quand il équivaut à 

 un ensemble d'équations différentielles totales, c'est-à-dire quand les rela- 

 tions suivantes 



(7) ="■.*! -h 2/>*-^«=0. 



Ui) 



rV-z 



"A- 



où z- est une fonction de rr,, x^, ^Tg et z'-^\ z^''''^ représentent -^ , . ^ 



sont six équations, aux dérivées partielles, ayant quatre solutions com- 

 munes, dont l'une est une constante. 



)) Pour qu'il en soit ainsi, les coefficients p''-^^. doivent satisfaire à des 

 conditions bien connues, qui Inissent trois d'entre eux arbitraires. En y 

 joignant : 1° les deux conditions nécessaires afin que le système (4) soit 

 associé aux équations déduites de l'équation proposée; 2° une relation 

 d'après laquelle le jacobien des trois solutions non constantes du sys- 

 tème (7) est une fonction donnée des variables, par exemple est égal à 

 l'unité, on définit les coefficients /j^'^ d'une façon complète. 



» L'intégration des équations (3) et, par suite, de (i) est ainsi réduilc 

 à celle d'un système linéaire. 



« En effet, la résolution du système (7) exige uniquement celle d'une 

 équation diiïéreMtielle linéaire du quatrième ordre. Les relations établies 

 entre x^, x^, x^ par le couple associé, qui comprend l'équation pro- 

 posée, expriment que deux solutions quelconques de (7) s'évanouissent à 

 la fois. 



» La possibiliié de rattacher l'étude de l'équation (2) à celle d'une 

 équation différentielle linéaire est ainsi manifeste; la construction effec- 

 tive de cette dernière équation est un problème assez complexe, auquel 

 conduit l'cinalyse précé dente et que j'espère traiter dans une prochaine 

 Communication. 



