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intégrales se ramènent par une transformation ponctuelle 



aux droites de l'espace. Convenons de dire que les systèmes (2) qui 

 répondent à cette condition sont de l'espèce D. Tous les systèmes (2) de 

 Tespèce D dépendent de trois fonctions arbitraires de x, y, z; étant donné 

 lin système (2) algébrique, on sait reconnaître algébi-iqiiement s'il est de 

 l'espèce D, et son intégration équivaut alors à celle d'une équation linéaire 

 (ordinaire) du quatrième ordre, à coefficients algébriques. 

 » Ceci posé, M. Liou ville écrit l'équation (i) sous la forme 



et il cherche à déterminer un système (2) de l'espèce (D) qui soit consé- 

 quence de (3). Pour qu'un système (2) soit conséquence de (3), deux 

 conditions sont nécessaires : comme les systèmes (2) de l'espèce D dé- 

 pendent de trois fonctions arbitraires, M. Liouville assujettit ces fonctions 

 à une relation supplémentaire et arrive à cette conclusion qu'on peut 

 remplacer algébriquement le système (3) par un système (2) de l'espèce D; 

 autrement dit, l'intégration de (3) équivaut à celle d'une équation linéaire 

 (ordinaire) du quatrième ordre, à coefficients algébriques. 



)) Pour comprendre que cette conclusion ne saurait être exacte, il suffit 

 de remarquer qtie le raisonnement subsiste sans modification quand on 

 remplace le système (3) par un système quelconque de la forme 



(4) ■~=M(x,y,z), ~='S(x,y,z), (M, N algébriques en a?, j, ^). 



Toute équation différentielle (^algébrique) du second ordre serait donc réduc- 

 tible à une équation linéaire (algébrique) du quatrième ordre : résultat 

 évidemment inadmissible. 



» En réalité, ce que démontre M. Liouville, c'est que toute congruence 

 de courbes (gauches ou planes), définie par un système (4), est réduc- 

 tible par ime transformation ponctuelle à une congruence de droites. Mais 

 cette réduction est possible d'une infinité de façons, et le calcul d'une 

 transformation de passage équivaut à l'intégration du système (4). 



» Si l'on effectuait les calculs indiqués par M. Liouville pour déterminer 

 les systèmes (2) de l'espèce D qui sont conséquences de (3), on trouverait 

 que les coefiicients de ces .systèmes dépendent d'un système d'équations 



