4l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



partielles eiw/, ç^, x, y, z qui soit compatible (*) avec (S) sans être une consé- 

 quence de (S). Dans ce cas, il existe, non pas un seul, mais une infinité de 

 systèmes d'équations (algébriques) aux dérivées partielles en w, v,x,y,z 

 telles que chacun d'eux admette des solutions u, v de (S) sans les admettre 

 toutes. Mais, parmi ces systèmes 2, il en est un, soit 1^, d'ordre différen- 

 tiel minimum; toutes les solutions m, v de ce système se déduisent d'une 

 quelconque d'entre elles u^, c^, par les transformations 



d'un certain groupe Y (fini ou infini). Ce systèmes, et le groupe T cor- 

 respondant, qui ne sont définis qu'à une transformation ponctuelle près 

 en u, (', caractérisent la difficulté de l'intégration formelle de (4). C'est ce 

 groupe r que M. Drach appelle le groupe de rationalité de (4). Étant 

 donné un système (4). le problème fondamental qui se pose au point de 

 vue de l'intégration formelle, c'est la détermination du groupe de ratio- 

 nalité. 



)) 4. Appliquons ces généralités à une équation de la forme 



(^) Tx^"" ^=^(^'->') (R algébrique en ^,j). 



» Une telle équation n'est pas irréductible, au sens de M. Drach, car 

 elle admet comme dernier multiplicateur l'unité. Ceci revient à dire qu'on 

 peut substituer au système S le système 



(2) 



du du ^ '^^ D 



dcc dj ~' ôz ' 



dv du di' du ^ dv du dv du 



~dx dz dz dx ""' dy dz dz dy ' 



qui entraîne la conséquence -^ -\- -^ z -h -jz R = o . Les solutions (u, c) 



de S se déduisent d'une quelconque d'entre elles (u^, ('^ ) par les transfor- 

 mations du groupe infini u = (p(?/,, v^), v = ^(Uf, v^), où cp, <li sont deux 

 fonctions quelconques dont le jacobien est égal à i. Ce groupe G est le 

 groupe de rationalité d'une équation (5) non exceptionnelle (- ). 



(*) J'entends par là que le système 2 formé par (S) et les relations supplémentaires 

 admet au moins une solution u, v où u, ç sont deux fonctions distinctes de x, y, z. 



(-) Il faudrait, en toute rigueur, démontrer que le groupe de rationalité d'une 

 équation (5) prise au hasard n'est pas un sous-groupe de G. Mais la chose ne paraît 

 pas douteuse ni difficile à démontrer. 



