5o4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Je me propose d'indiquer ici dans quel cas le dernier réseau conjugué 

 reste invariable dans une déformation continue. 



» Il faudra d'abord étudier les différents cas qui peuvent se présenter 

 dans la recherche de la solution R, ce qui conduit à examiner le système 

 formé par (i) et 



(^) 



du dv 



dx dx dy dv . àz âz ^ i t - i ■ j - ^y^ 



ouc=^; — ^ — l--T^-^ + -i — T' On est encore oblige de considérer 1 equa- 



ou oi' ou ov ou OS' ° ^ 



tion 



(3) A(|i)VB(,^y=C, 



A, B, C étant certaines expressions formées à l'aide de a, b, c et de leurs 

 dérivées. Yoici les résultats qu'on tire des équations (i), (2) et (3) : 



» 1° La solution 'K n'existe pas; 2° la solution R dépend d'une constante 

 arbitraire (en dehors de la constante additive) : ce cas correspond à 

 A = B = C =: o ; ?>° il y a une seule solution R ; If il y a deux solutions R 

 distinctes; 5° il y a deux solutions R confondues : dans ce cas, la solution R 

 satisfait aussi à l'équation 



w A(£y=B(^y 



et réciproquement. 



» Cherchons maintenant dans quel cas on a un réseau qui reste inva- 

 riable dans une déformation continue. Il faudra que 



ou, d une manière générale, -.— . ^ — r-' 9 étant une solution quel- 



' ^ dv du du dv ' 



conque de (i), satisfasse à une équation de Laplace à invariants égaux. 

 Or, cette condition exige que R soit une solution de (4). Par conséquent, 

 ou bien A = B = o et, en vertu de (3), G = o, et alors on se trouve dans 

 le cas 2° ; ou bien on se trouve dans le cas 5°. Ce sont là les seuls cas qui 

 conduisent à des réseaux conjugués invariables dans une déformation 

 continue. Le cas 5° est très dilficile à étudier. Je vais donner sur le cas 2" 

 quelques aperçus généraux. 



M J'ai déjà démontré (Bulletin- de M. Darboux, 1900) que l'équation (i), 



