SÉANCE DU 6 OCTOBRE 1902. Ssq 



formant un g,^ A et h e^^^ tels que [3, , '{!>.,, . . ., G a un g^. (On sait d' ailleurs que 

 ix-i^j^^ ^kOLi). L'A proposition étant évidente quel que soit b pour a = i, on 

 peut l'admettre quel que soit b pour les valeurs de a plus petites que celle 

 considérée. Soit D le plus grand commun diviseur de j [3,, . . ., p^ [ = B et 

 de A. Si D = I, la proposition est démontrée. Si D est un ^a<i A, B conte- 

 nant 06(6) et a'e(„) qui forment un g„' est d'ordre ba' et a un g^. Soit donc 

 D = A. Si A (qui est ici abélien) a un g„'A'>> i et <^ A (a = a' a"). A' sera 

 normal dans G, et l'on peut admettre que G | A' d'ordre ba", qui contient un 

 g^j'/AjA' formé de ses e(„//, et b e,^h) (les A'p^, tous distincts puisque leur 

 nombre est multiple de b), a un g^ auquel répond dans G un g^^, G' = 2Apj- 

 contenant un g^. Soit donc A simple, donc a premier = p. Considérons la 

 représentation régulière Q de G et soit, dans Q, \s\=A> [^ = 11*^,, 

 Si= (ai^ . . .a/j,), les a^/^ étant bp symboles; le champ de Si sera désigné 

 par Gi] la représentation de A. (j" divisera } âo\ § j en posant ,.1,'= j 5,, . . ., ^^ {, 

 S = 1t, t = ll^^ t/,, tf, (formée avec «,^., .... a^^ comme t^ avec a,,, . . ., «0,) 

 parcourant le symétrique de champ «,/(, . . ., rt^;^. Soit ç = 2pJl,iCp où l'on 

 peut supposer que x^ est un ej^j. Il est facile de voir que, si /~^n^^^'7 = n^^î, 

 les Ej. sont une permutation des \i telle que la substitution (E^, ^'.) =t est 

 semblable à t\\ ^^ étant mis à la place de a^. De plus, si (tU.sfY= t^Us"^', 

 ni est la somme des [y. ^^ que t**, t% . . ., t^^"' substituent à ^,. Si p. est l'ordre 

 de ill^^^', on aura, S étant premier à x' , t~^= TLsf = i, donc 71,^^0 mod p. 



Si donc t est régulière, on a l^i^o. Soit alors ^p=z'P^n5l^ (^^P' étant 



dans s) et ic, ^2 = i^a^y^ t^^^->Usf t^'-^ = Us}. OnRurat^'H^'-^nsf^^-= t^^^Ilsf^ sK 

 donc i(')/(-)= /t3) gt ^(2)_j_ ^.= ^i3)_^ ^ Q^ l'action de g sur les c, est celle 



d'un g* régulier. Donc ^'P' est régulière et de même t'^KDoncl^f^^l^i^o 

 et i ^ o. Donc Ixç, et It^^^ = s' sont deux groupes isomorphes. Or -2p4^' est 

 un gj régulier. Donc A.s' est un gj^ régulier. Z)oazc (J est semblable au produit 

 direct de X par un diviseur de s . 



» II. Si un gab {a premier à b) G contient b é'(6)(P,, Pa, ..., p^) et 

 6(a — i) H- I e^a) répartis en b g^ abéliens conjugués A, = A, Ao, . . . , A^ pre- 

 miers entre eux deux à deux, on a G = 2;tA<P/f ^ suffit de montrer que 

 chaque Ai<x^(a.^::/= i dans A;^; « :^ k) contient un p. On voit d'abord que A, 

 n'est permutable qu'aux a,-, et que G ne contenant d'autre e^^b) que des a. 

 ou des p, un a n'est jiermutable qu'à nn a, un p qu'à un p. De plus, un 



deux, substitutions) sont semblables, lorsqu'ils ne diffèrent que par le choix des sym- 

 boles. 



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