6l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



et l'on en lire 



2.id(ù = (^dx -+- idy) 9'(/>) — {dx — idy) '^' {^l) 

 = r^'{p)dp-^'{q)dq. 



L'intégrabilité se trouve ainsi mise en évidence, et il vient, en représen- 

 tant par 0. une constante arbitraire, 



(7) 2i(co -ha) = (p(^) --K^)- 



» Cette relation est essentiellement réelle, car la forme (6) des fonc- 

 tions arbitraires montre que le second membre renferme en facteur ï, qui 

 disparaît ici de part et d'autre. 



» 3. La première intégration étant ainsi effectuée une fois pour toutes, 

 la seconde peut être, dans chaque cas, ramenée aux quadratures. 



» On a, en effet, 



fly I e-*^' — I I e?(/')-'|'(9')-2ja — j j g(f(p)-ia Q<!^(q)+ia 



-r- = tane:(o = - -r—. = ; = ■ i • 



da; ■ ^ i e^"' 4- I i e?(/')-4'('7)-2'a -4- j i e'-p(/j)-'a _ g^}/;7)+ia 



On tire de là 



c'est-à-dire 



{dx —i dy ) e?t^)-'« = {dx -\- i dy ) eM'i^-^ '^ , 



on, en divisant les deux membres par f?(/')+'^'('/', 



^ia g_?(/,) ^Jp ^ g-/a ^\[q) ^^^ 



et enfin, en intégrant et désignant par 2i^ une nouvelle constante arbi- 

 traire, 



( 8 ) e'* Te-Ç^/" dp - e'''^ Te-^^^' dq=ii^, 



équation réelle encore, puisque le premier membre est la différence de 

 deux expressions imaginaires conjuguées. 



)) Il convient de remarquer que l'on n'a pas en réalité deux quadratures 

 à opérer, mais une seule, puisque la seconde n'est que l'expression conju- 

 guée de la première. Il suffit donc d'effectuer l'une quelconque d'entre 

 elles, de la multiplier par le facteur en a qui la concerne, et d'égaler à [i le 

 coefficient de sa partie imaginaire, pour avoir l'équation finie de la bra- 

 chistochrone. 



