SÉANCE DU 20 OCTOBRE 1902. 617 



» Nous pouvons déduire de là certaines propriétés des courbes ainsi 

 obtenues. 



» 4. Nous voyons d'abord que la relation (8) renferme deux para- 

 mètres arbitraires a et ^. On peut donc envisager distinctement une infinité 

 de groupes de brachistochrones, pour chacun desquels a conserve une 

 valeur fixe, tandis que ^J passe par tous les états de grandeuç, de manière 

 à fournir les diverses lignes qui composent le groupe en question. 



» Attachons- nous par la pensée à l'un de ces groupes en particulier, et 

 menons à toutes les courbes qui le constituent des tangentes parallèles à 

 une direction fixe, caractérisée par une certaine valeur déterminée de 

 l'angle w. Il est facile de trouver l'équation du lieu du point de contact. 



» Elle ne sera autre que la formule (7) dans laquelle, au lieu de considé- 

 rer co comme un angle de contingence variable, ce qui constituait l'équa- 

 tion différentielle de la brachistochrone d'où ^ se trouve absent, nous 

 l'envisagerons au contraire comme une constante absolue relative à la 

 direction des tangentes considérées. L'équation cherchée est donc 



? (p) ~ 'y (^) — const. 



» Cherchons actuellement la tangente de cette nouvelle courbe, endif- 

 férentiant son équation par rapport à x. Il vient ainsi : 



(dx + iciy) <^'(p) - (dx — idy) '^ (q) = o, 



ce qui donne (5), 



La direction de cette tangente est donc précisément celle de la force en 

 chaque point. 



)) Il s'ensuit que l'ensemble de ces lieux géométriques, pour toutes les 

 directions diverses o> que l'on peut successivement attribuer par la pensée 

 aux tangentes parallèles des brachistochrones, reproduit le système des 

 enveloppes de forces, trajectoires orthogonales des courbes de niveau du 

 système donné. 



M 5. Je signalerai une seconde propriété de ces systèmes de brachisto- 

 chrones. Elle consiste en ce que toutes les courbes appartenant à deux 

 quelconques de ces groupes, caractérisés par les valeurs a,', a." de leur para- 



C. R., 1902, 2» Semestre. (T. CXXXV, N° 16.) . "^ 



