642 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



(l'un dernier mulliplicateur) : 



^ ^-^ du 0^' du âv 



» Il est clair que des systèmes (Zî), (5) on peut en déduire une infinité 

 d'autres (algébriques) en effectuant sur u, ç une transformation ponctuelle 

 telle seulement que le jacobien de la transformation soit algébrique par 

 rapport aux nouvelles variables u, v. Plus généralement, on pourra rem- 

 placer l'équation (5) par la suivante : 



A(u,v) vérifiant un système (compatible) arbitrairement choisi d'équa- 



tions algébriques en u, ç, -— > — -^ -;-, 5 •• •• Soit z un quelconque de ces 

 ^ ^ du ()v OU' 1 ^ 



systèmes : il est évident que l'intégration d'un système 1 exige, au préa- 

 lable, celle du système (4) et (5). T^'équation (2) n'est donc re<^wc^/^/(? que 



,., • . j ' ,• 1 '1 • ^'' àv à'u 



s u existe des équations ali^ebriques en x, y, z, u, ç, -— , •••, -^j —, ..., 



qui soient compatibles (*) avec les équations (4) sans en résulter, et qui 

 forment avec (4) wn système distinct de tous les systèmes i;. Dans le cas 

 contraù^e, l'intégrale générale de V équation {^l) ne peut être définie par aucun 

 système différentiel plu^ facile à intégrer que le système (4), (5) ou d'ordre 

 différentiel moindre; le groupe de rationalité de l'équation (2) est alors le 

 groupe infini 



» 2. Ceci posé, je vais montrer que l'équation (i) est irréductible. Si 



l'on veut encore, au point de vue de l'intégration ybrme//e, elle appartient 



à la classe d'équations (2) la plus générale. En particulier, il est impossible 



qu'une intégrale première u{x,y, z) vérifie une équation algébrique en oc^ y, 



du du du d'- u . , i i> > • 



z, u, — j — 5 p j y7_, 5 • • •) qui ne soit pas une conséquence de l équation 



du du du /,. \ 



-.. h i-:; + -T-(oy- + a:-) — o. 



dx dv dz ^ " 



(*) J'entends par là que ces équations ont. avec (4), au moins une solution com- 

 mune u, r, où u, V sont deux, fonctions distinctes de x, y, z. 



