SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1902. 6^3 



» LademonsLratioarepo.se essentiellement sur le théorème de M. Dracb, 

 sans lequel le problème serait inabordable. Ce théorème (combiné avec 

 l'énumération des groupes continus à deux variables qu'a donnée S. Lie) 

 conduit aussitôt à la conclusion suivante : 



« Si une équation (2) est réductible : 



» 1° Ou bien il existe un système linéaire en u(x,y, -) dont l'inlégrale 

 n générale est de la forme a = at<, -{- ^8mo -h y [a, p, y sont des constantes 

 » arbitraires; m, , Uo deux intégrales premières distinctes de (2)]. Autrement 

 •) dit, le groupe de rationalité de l'équation (2) est linéaire, et même 

 )) linéaire spécial. 



« 2"" Ou bien une intégrale première u(x,yyz) vérifie le système 



» rationnel 



du du du 



. .. dx dy _ dz 



\^) h{œ,y,z) - U{a-,y,z) " ^{jc-,y,z)' " 



Nous allons voir que ces deux hypothèses sont inadmissibles pour l'équa- 

 tion (1). 



3. L'hypothèse i" peut être écartée par une discussion où intervient le 

 développement d'une solution quelconque j(^) de (i) autour d'un de ses 

 pôles x^, à savoir (') : 



( -^- h{x — XqY -\- {x — x^^y{. . .), (A constante arbitraire). 



» Mais une remarque intuitive, qui m'a été communiquée par M. Drach, 

 évite toute discussion : si le groupe de rationalité de (i) est linéaire, il en 

 va de même pour l'équation 



-j-^ = 6y- -h- c(.x -+- [i (a, ^j constantes quelconques) 



qui se déduit de l'équation (i) en changeant y en -f:, cl x en (ax- -+- y) ? 



et en particulier pour l'équation j"=Gy-4-[i. Or, le groupe de cette 

 dernière équation est connu, et (pour [i ^ o) peut recevoir la forme 



Z/, = U, (-', =rr Ç -+- a(^)^ (u) ■+- bo)._,(u) -+- C 



(a, h, c paramètres du groupe; œ, et lo., périodes de l'intégrale elliptique 

 (') Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXVIII, 1900, p. 28. 



