SÉANCE DU l-j OCTOBRE 1902. 645 



» Dans le voisinage d'un pôle x =x^ de j(ic), celte équ^ilion (10), très 

 analogue à une équation de Lair.é, a son intégrale générale méromorphe 

 [en vertu de la formule (7)], ce qui exige [d'après (9)] que H,(x) n'ait 

 que des pôles simples. Or, H, est de la forme 



a{x)-^y'h{x) -^ y\^a,{x) ^ y'h,{x)'\+ y-\^a.,{x) +yh.,{x)\ 



et, si l'on remplace j et j' d'après (7), on voit que les pôles de H^ sont au 

 moins doubles, à moins que H ne se réduise ideutiquement à a{x). Eu 

 définitive, si Vcqualion (1) est réductible, il existe un polynôme en y, z, 

 holomorphe en x, — à savoir V{x,y, z) = N(^, 7, 5) e-^" '•*"''■, — qui satisfait 

 à la condition (10), où \\ désigne (a fonction de x obtenue en remplaçant 

 {dans V) y et z par une solution arbitraire y{x) de (i) et sa dérivée. Toute 

 la difficulté est de montrer qu'une telle expression P n'existe pas. 



y> h. k cet effet, je change x en a.x', yen ^' - ^n ^- I^'équation (i) 



devient 



(1,) g = 6y+fl:r (? = -'). 



et l'intégrale générale de (i i) se laisse développer sous la formiî {loc. cit., 

 p. 25) : 



(12) U = ,P(^- + ^-^ «' - 2^0 -^ hi ^'^(^^J^' "^ ^<ï^'^ "^ 20;^^ J + [i^. . .] -f-. . . 

 ( ==0 + p^ +. . . (A, ^' constantes arbitraires). 



D'autre part, le polynôme P (niLdtiplié par une puissance convenable de a) 

 devient 



(i3) V ~{^{x, y, z) ^ ^J K{x, y, z) ^ a^"-'(...); 



Q, R désignent des polynômes en x, y, z, et Q se reproduit (multiplié 



par une ])uissance convenable de a) si l'on y chang<; x en v.x, 7 en ^, 



:; en 4* Quand, dans P, on remplace 7 et z par le développement (12) et 



le développement dérivé, la fonction P, (a;, A, X;, a) ainsi obtenue vérifie 

 identiquement la condition 



(i4) '^-=''^ ^^ [P(^ -^ ^' ''' - ^^0 + ^z + • • •]• 



Tout d'abord, il est loisible d'admettre (comrneon le voit aisément) que a 



