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ne fig^Lire que par les puissances de a* dans l'égalité (i 3). De plus, pour 

 a = o, la fonction Q, (^)s^Q[,r, p(x -+- k, o, — 2A), p {x h- A, o, — 2 A)] 

 vérifie l'équation 



(i5) ^-' = i2j)(j; + yî:, o, - 2A)Q,(^), 



équation dont l'intégrale générale (/oc. cit., p. 23) s'écrit 



C,(a;p'-h2j))-+-C,jy; 



il suit (le là aussitôt [en tenant compte de l'homogénéité spéciale de 

 Q {x, y, zy^ que Q coïncide (à un facteur numérique près qu'on prend égal 

 à l'uniLé) avec une des deux expressions 



Dans le premier cas, on a 



V,{x, /^, k, x) == /i"'p'(x, o, - ih) H- {i(m + p) H- p=^(. . .). 

 avec 



et récjuation (i4) entraîne la relation 



(16) ^ - I2?j) = I2j3a + 12/r j/y^ - r7". 



Le premier membre de l'équation (16) est un polynôme en x, p, p' ; le 

 second membre (d'après les expressions de ^ et de ny) est de la forme 

 >.^ + [7-, 1 et |x étant des polynômes en x, p, p\ et le coefficient); n'étant 

 pas identiquement nul, comme on le vérifie immédiatement. La fonction 

 '((^r) de Weierstrass s'exprimerait donc rationnellement en x, p, p\ résultat 

 absurde. 



)) Le même raisonnement s'applique sans modification à la seconde 

 expression possible de Q. La démonstration est terminée. 



» 6. L'équation (i) est donc irréductible au sens le plus absolu du terme, 

 quant à son intégrale générale. Mais on pourrait penser que certaines solu- 

 tions exceptionnelles y (x) échappent à cette conclusion. Il n'en est rien. 

 Imaginons, en effet, que l'on connaisse un système différentiel algébrique 

 (d'ailleurs quelconque) définissant certaines solutions ^(a;) de (i), mais 

 non l'intégrale générale : ou bien ces solutions exceptionnelles seront iso- 

 lées, et alors elles seront sûrement algébriques (ce que l'on sait impossible) ; 



