— n ( 2 — n ) 1 1 



r 2 e 2 ; 



658 ACADÉMIE DES SCIENCES 



il vient 



fe-'^^P^dp= -^ — J-- 



J '^ {2 — n)\/K 



et de même 



/9 2 — " ( 2 — » ) 1 9 



e-^q)(lq = -r~^e i . 

 ^ (2 — n)v/A 



» L'équation (8) devient, d'après cela, 



r 2 eL 2 J — g L 2 J|=:const., 



c'est-à-dire enfin 



2 — n 



r~^ sin I - — - + a ) = const. 



On obtient ainsi, comme brachistochrones, les spirales sinusoïdes d'ordre 



» Il est facile d'interpréter la condition que cette formule (11) impose 

 aux forces. 



)) Comme les courbes de niveau représentées par cette équation (11) 

 sont des cercles concentriques, les forces F concourent à l'origine. 



» L'expression U du travail étant, dès lors, / Y dr, on a 



F=:^=/^A^-^ 

 dr 



Le cas qui nous occupe est donc relatif aux forces centrales propor- 

 tionnelles à la puissance n — i de la distance, mais toutefois avec une 

 restriction spéciale qu'il est bien essentiel de ne pas perdre de vue. 

 » L'équation des forces vives (1) donne, en effet, 



{P' = 2U = 2Ar". 



Cette relation doit donc avoir lieu en particulier entre la vitesse ini- 

 tiale (^0 et la distance r^ pour laquelle celle-ci se trouve imprimée au 

 mobile. On a ainsi à la fois : 



