66o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» On aura ainsi pour le groupe spécial (lo) de brachistochrones 



arccos^ ■+- arccos^ = 2B. 



Pour en discerner la nature géométrique, prenons le cosinus des deux 

 membres 



COS2B =pq- v/(i - />-) (i - q^) =r^~ pp', 

 d'où 



(/'- — COS2B)^ = p^ p'-, 



et, d'après le théorème de Côtes, 



r'* — 2r-cos2B + C0S-2B = r* — nr^ cos2Ô + i, 



d'oii, en réduisant, 



2r-(co326 — COS2B) = sin-2B, 



/--[(cos^O — sin^Ô) - cos2B(cos-6 +■ sin^G)] =^sin22B, 



r^cos^6(i — C0S2B) — /^sin^6(i + C0S2B) = 2sin^B cos^B, 



et enfin 



cos^B sin^B 



On voit que la somme des dénominateurs est égale à l'unité, c'est-à-dire au 

 carré de la distance du centre à chacun des deux foyers fixes. Par suite 

 cette première famille de brachistochrones est formée des hyperboles 

 homofocales aux lemniscates. 



» La seconde (9) comprendra, d'après le théorème 6, leurs trajectoires 

 orthogonales, c'est-à-dire les ellipses qui admettent encore les mêmes 

 foyers. Enfin tous les autres groupes seront formés des trajectoires de ces 

 coniques homofocales sous un angle constant quelconque. 



» Il reste à déterminer la loi qui régit la force dans le cas que nous 

 venons de traiter. 



» Nous connaissons déjà sa direction, qui est normale aux lemniscates, 

 et par suite tangente aux hyperboles équilatères concentriques qui passent 

 par les foyers de ces courbes. 



» On a d'autre part pour son intensité 



