SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1902. 661 



et enfin 



v/pp' 



La force varie donc à la fois proportionnellement à la distance au centre 

 et en raison inverse de la moyenne géométrique des distances aux deux 

 foyers. 



» Elle est d'ailleurs dirigée de l'intérieur à l'extérieur des lemniscates, 

 puisque l'expression du travail est positive. 



» Quant à la condition spéciale imposée aux données initiales, elle dérive 

 de l'équation (i) : 



Ç^ = 2U = 2pp'. 



» On a donc à la fois 



F'o 2 ' 



0= 7=7' ^o=2poP«' 



VPoPo 



d'où, en éliminant popj,, 



Fo<'o __ /~ 



» Exemple III. -- Prenons enfin, pour fonction des forces, le carré de 

 celle de l'exemple précédent 



M La première famille (10) de brachistochrones aura pour équation 



2B = ^ Loo(P--l) + 1 Logr^ , 

 d'où 



4B _ (/? — 0(^ — 1) ^ ^ 

 ■ (/>-h-l)(^ + l) p'^' 



et enfin 



P' 



Elle est donc formée des cercles qui sont les lieux géométriques des 

 j)oints dont le rapport des distances aux deux foyers fixes reste constant. 



» La seconde famille (9), qui est coiistituée par les trajectoires orthogo- 

 nales des précédentes, comprend d'après cela les cercles qui passent par 

 les deux foyers fixes. 



