SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1902. 677 



fadeur que nous désignerons désormais par (M) = o. Dans le doinaine de 

 rationalité déterminé par les a,, . . ., a^, considérées comme variables 

 indéterminées, décomposons (M') = o en facteurs irréductibles (M'|) = o, 

 (M!^) = 0, . , .; chacun de ces facteurs définit les N inconnues et en parti- 

 culier les A/tx comme fonctions algébriques des a^, . . ., a^, contenant 

 encore iv — p -\- i paramètres arbitraires, que nous regarderons comme 

 fixées une fois pour toutes. D'après le théorème de Puiseux généralisé, les 

 diverses solutions k^H d'un facteur irréductible (MJ) = o proviennent l'une 

 de l'autre en faisant décrire aux a^, ..., «c? tous les chemins fermés pos- 

 sibles. En formant l'équation (i) avec les A^" '^omme coefficients, il faut 

 qu'au moins une de ces équations soit irréductible, car, autrement, il n'y 

 aurait pas d'équation irréductible de degré m et à cr points de ramification 

 simples quelconques, ce qui est absurde. Formons une telle équation 

 F„(-37, j'a) = o, en choisissant pour coefficients un système de détermina- 

 tions uniformes des A^x, et soit R^ la surface de Riemann appartenant à cette 

 équation. En faisant décrire aux a^, ..., a^ tous les chemins fermés pos- 

 sibles, l'équation F^= o sera changée en des équations F, = 0, ..., Fy= o, 

 et la surface de Riemann correspondante en B,, . . ., R^, toutes ces surfaces 

 provenant l'une de l'autre par monodromie des points de ramification. Si l'on 

 applique les résultats de mon Mémoire {Journal de Crelle, t. 124, p. 292) 

 aux surfaces de Riemann, résultats qui, dans ce cas particulier, sont d'ac- 

 cord avec ceux obtenus par M. Hurwitz dans un Mémoire antérieur 

 (Mathem. Annalen, t. XXXIX), on reconnaît que toutes les surfaces de 

 Riemann à m feuillets et ayant les points a^, . . ., a^\)ouv points de ramifi- 

 cation simples proviennent l'une de l'autre par monodromie des points de 

 ramification. Il faut donc que la surface R, donnée d'avance, se retrouve 

 entre les surfaces R,, . . ., R^ et, par suite, qu'une des équations F, =0, ..., 

 Fç= o appartienne à la surface R; le problème proposé est donc résolu. 



» Mais il s'ensuit de cette résolution qu'au point de vue algébrique il 

 soit indispensable de considérer non une surface de Riemann R spéciale, 

 mais à la fois toutes les surfaces R<, .. ., R^ provenant de R par mono- 

 dromie des points de ramification, c'est-à-dire que, au lieu d'examiner, 

 comme le fait Riemann, la fonction y appartenant à une surface R donnée, 

 il faut envisager l'ensemble de toutes les fonctions y,, . ..,y^ appartenant 

 aux diverses surfaces R,, . .., R^. Cet ensemble constitue une seule fonc- 

 tion monogène, si on la regarde comme fonction des c -4- i variables 

 y., a^, . . ., «(j, car toutes les y, , . . ., y^ et ces fonctions seules proviennent 

 de l'une d'entre elles, en faisan t varier de toute manière possible ces cy -h i 



