SÉANCE DU 27 OCTOBRE I()0?. 681 



formule 



(6) r)'r=c, 



ayant la même signification que la première et où /7'est la distance de l'ori- 

 gine à la tangente à l'hodographe au point M'. 

 » Si la loi de la force est en général de la forme 



J=:CÎ)(r,0.<'), 



la formule (3) est l'équation différentielle de la trajectoire, ou, en ayant 

 égard à (6), on obtiendra aussi l'équation différentielle de la courbe bodo- 

 graphe en coordonnées tangentielles. La formule (4) nous montre alors 

 que, si la loi de la force est de la forme 



elle est l'équation différentielle de la courbe hodographe en coordonnées 

 polaires, qu'on pourra transformer à l'aide de (5), et l'on obtiendra 

 l'équation différentielle de la trajectoire elle-même en coordonnées tan- 

 gentielles. 



» Enfin les formules (3) et (4) nous montrent que, si l'on sait déter- 

 miner le mouvement lorsque la loi de la force est de la forme 



J=/'(î>(r,0,r). 

 on saura encore le déterminer lorsque la loi de la force est de la forme 



*((', a, r) 



)) Nous avons là un exemple de transformation cor relative. En effet, il 

 suffit de remarquer que l'hodographe, lorsque la force est centrale, est la 

 polaire réciproque de la trajectoire tournée d'un angle droit dans un sens 

 convenable, autour du centre attractif, qui est aussi le centre du cercle 

 directeur. Il en résulte alors que, si les deux lois précédentes ont le même 

 centre attractif, on pourra disposer des conditions initiales de façon que les 

 trajectoires correspondant à l'une d'elles soient les polaires réciproques 

 des trajectoires correspondant à l'autre. 



» Considérons en particulier comme exemple les deux lois de forces 

 trouvées par MM. Darboux et Halphen (' ) : 



T !^^^ T V-r 



j — Tj j = - — — • 



4 {c/jr -+- ev -hjy 



{ax- -\-ibxy -\- cy-y 



(*) Darboux, Halphen, Comptes rendus, t. LXXXIV. 



C. R., 1902, 2« Semestre. (T. CXXXV, N" 17.) 90 



